En utilisant un bon changement de variables, calculer pour \(0<a<b\), l’intégrale \[I= \int_a^b (x-a)^3(b-x)^4 dx\]


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[ID: 1818] [Date de publication: 12 mai 2021 12:14] [Catégorie(s): Changement de variable ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 311
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:14

Effectuons le changement de variables \(\begin{cases}y=b-x\\ \mathrm{ \;d}y = -\mathrm{ \;d}x\end{cases}\). On trouve que : \[I=\int_0^{b-a} (b-a-y)^3y^4 dy\] On fait ensuite le changement de variables \(\begin{cases}z=\dfrac{y}{b-a}\\ \mathrm{ \;d}y=(b-a)\mathrm{ \;d}z\end{cases}\), et on trouve que \[I= (b-a)^8\int_0^1 z^4(1-z)^3 dz .\] En développant, on obtient alors \[\boxed{I= \dfrac{1}{280}(b-a)^8 }\]


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