Soit \(a,b\in\mathbb{R}_+^*\) et \(n\in\mathbb{N}\). Calculer à l’aide de changements de variables, les intégrales

\[I_1=\int _0^a \dfrac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}},\quad I_2=\int _0^a\dfrac{dx}{a^2+x^2},\quad I_3=\int _a^b(x-a)^n\mathrm{ \;d}x\]


Barre utilisateur

[ID: 1816] [Date de publication: 12 mai 2021 12:14] [Catégorie(s): Changement de variable ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 724
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:14

Pour les deux premières intégrales, on effectue le changement de variable \(\begin{cases} u=x/a \\ \mathrm{ \;d}u=\mathrm{ \;d}x/a \end{cases}\). On obtient alors : \[I_1= \int _0^a \dfrac{\mathrm{ \;d}x}{\sqrt{a^2-x^2}} = \int_0^1 \dfrac{a\mathrm{ \;d}u}{\sqrt{a^2-a^2 u^2}}= \int_0^1 \dfrac{\mathrm{ \;d}u}{\sqrt{1-u^2}}=\operatorname{arcsin} 1= \boxed{\dfrac{\pi}{2}}\]

\[I_2= \int _0^a\dfrac{dx}{a^2+x^2} = \int_{0}^1 \dfrac{a\mathrm{ \;d}u}{a^2+a^2 u^2}=\dfrac{1}{a} \int_{0}^1 \dfrac{\mathrm{ \;d}u}{1+ u^2}=\dfrac{\operatorname{arctan} 1}{a}= \boxed{\dfrac{\pi}{4a}}\] Pour la troisième, on pose \(\begin{cases}u&=x-a\\\mathrm{ \;d}u=\mathrm{ \;d}x \end{cases}\) : \[I_3= \int _a^b (x-a)^n = \int_{0}^{b-a}{u^n}\mathrm{ \;d}u= \boxed{\dfrac{\left(b-a\right)^{n+1}}{n+1}}.\]


Documents à télécharger