Pour un entier \(n\in \mathbb{N}\), on pose \[I_n = \int_0^{\pi/2} \dfrac{\sin nx}{\sin x} \mathrm{ \;d}x\]

  1. Justifier que pour tout entier \(n>0\), l’intégrale \(I_n\) existe.

  2. Calculer pour \(n\geqslant 2\), \(I_n - I_{n-2}\), \(I_0\) et \(I_1\).

  3. En déduire la valeur de \(I_n\) pour tout entier \(n\).


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[ID: 1804] [Date de publication: 12 mai 2021 12:06] [Catégorie(s): Intégration par parties ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 266
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:06
  1. L’intégrale \(I_0\) est clairement bien définie. Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). La fonction \(f:x\mapsto \dfrac{\sin nx}{\sin x}\) est définie et continue sur \(\left]0,\pi/2\right]\) par opérations sur les fonctions continues. De plus, par équivalents usuels \(\sin nx/\sin x\underset{x\rightarrow 0}{\sim}n\). Donc \(f\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}n\). On prolonge alors \(f\) par continuité en \(0\) en posant \(f\left(0\right)=n\). La fonction ainsi prolongée est continue sur \(\left[0,\pi/2\right]\) et l’intégrale \(I_n\) existe.

  2. Soit \(n\geqslant 2\). On utilise la formule valable pour tout \(p,q\in\mathbb{R}\) : \(\sin p - \sin q = 2\cos\dfrac{p+q}{2}\sin \dfrac{p-q}{2}\). Elle livre : \[I_n - I_{n-2} = \int_{0}^{\pi/2} 2\cos\left(\left(n-1\right)x\right)\,\textrm{d}x=\Bigl[ 2\dfrac{\sin\left(\left(n-1\right)x\right)}{n-1} \Bigr]_{0}^{\pi/2}=\dfrac{2\sin\left(\left(n-1\right)\pi/2\right)}{n-1}\] donc \(\boxed{I_n=I_{n-2} + \dfrac{2\sin\left(\left(n-1\right)\pi/2\right)}{n-1}}\). Par ailleurs \(I_0=0\) et \(I_1=\pi/2\).

  3. On utilise les résultats de la question précédente. Si \(n=2p\)\(p\in\mathbb{N}^*\) alors \[I_n=2\left(1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5} -\dfrac{1}{7}+\dots+\dfrac{\left(-1\right)^{p+1}}{2p-1} \right)=\boxed{2\sum_{k=1}^p \dfrac{\left(-1\right)^{k+1}}{2k-1}}.\] Si \(n=2p+1\) avec \(p\in\mathbb{N}^*\) alors \(\boxed{I_{n}=\pi/2}\).


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