Calculer pour un entier \(n\in \mathbb N\), l’intégrale \[I_n = \int_0^1 x^n\sqrt{1-x} \mathrm{ \;d}x\]


Barre utilisateur

[ID: 1802] [Date de publication: 12 mai 2021 12:06] [Catégorie(s): Intégration par parties ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 482
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:06

Soit \(n\geqslant 1\), en intégrant par parties (dériver \(x^n\)), on trouve que \[I_n =\Bigl[ -{\scriptstyle 2\over\scriptstyle 3}x^n \left(1-x\right)^{{3}/{2}} \Bigr]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} {\scriptstyle 2n\over\scriptstyle 3}x^{n-1} \left(1-x\right)^{{3}/{2}}\,\textrm{d}x= \dfrac{2n}{3}\int_0^1 x^{n-1} (1-x)^{3/2} dx = \dfrac{2n}{3}(I_{n-1}-I_n)\] d’où la relation de récurrence : \[I_n = \dfrac{2n}{2n+3} I_{n-1} = \dots = \dfrac{(2n)(2n-2)\dots 2}{(2n+3)(2n+1)\dots 5} I_0\] et puisque \(I_0=\dfrac{2}{3}\), on obtient finalement \[\boxed{ I_n = \dfrac{2^{2n+2}n!(n+1)!}{(2n+3)!} }\]


Documents à télécharger