1. Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). Trouver une relation entre \(\int_{}^{} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\left(x^2+1\right)^n}\,\textrm{d}x\) et \(\int_{}^{} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\left(x^2+1\right)^{n+1}}\,\textrm{d}x\).

  2. En déduire : \(\int_{}^{} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\left(x^2+1\right)^2}\,\textrm{d}x\) et \(\int_{}^{} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\left(x^2+1\right)^3}\,\textrm{d}x\).


Barre utilisateur

[ID: 1800] [Date de publication: 12 mai 2021 12:06] [Catégorie(s): Intégration par parties ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 914
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:06
  1. On effectue une intégration par parties : \[\begin{aligned} \int_{}^{} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\left(x^2+1\right)^{n}}\,\textrm{d}x&=&\dfrac{x}{\left(x^2+1\right)^{n}}+\int_{}^{} {\scriptstyle 2nx^2\over\scriptstyle \left(x^2+1\right)^{n+1}}\,\textrm{d} x \\ &=&\dfrac{x}{\left(x^2+1\right)^{n}}+2n\int_{}^{} {\scriptstyle x^2+1-1\over\scriptstyle \left(x^2+1\right)^{n+1}}\,\textrm{d} x \\ &=&\dfrac{x}{\left(x^2+1\right)^{n}}+2n\int_{}^{} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\left(x^2+1\right)^n}\,\textrm{d}x-2n \int_{}^{} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\left(x^2+1\right)^{n+1}}\,\textrm{d}x \end{aligned}\] et on en déduit que \[\boxed{\int_{}^{} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\left(x^2+1\right)^{n+1}}\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{2n} \left(\left(2n-1\right) \int_{}^{} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\left(x^2+1\right)^n}\,\textrm{d}x +\dfrac{x}{\left(x^2+1\right)^{n}}\right)} .\]

  2. Il s’ensuit que \(I_2=1/2(\operatorname{arctan} x +x/(x^2+1)^2)+C^{te}\) car \(I_1=\operatorname{arctan} x + C^{te}\). On en tire finalement que \(I_3=1/4(3\operatorname{arctan} x +3x/(x^2+1)^2+x/(x^2+1)^3\).


Documents à télécharger