Soit une fonction \(f\) de classe sur le segment \([a,b]\). Montrer que \[\int _a^b f(x) \mathrm{ \;d}x = \dfrac{b-a}{2}\left[ f(a)+f(b)\right] +\dfrac{1}{2}\int _a^b(x-a)(x-b)f''(x) \mathrm{ \;d}x\]


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[ID: 1798] [Date de publication: 12 mai 2021 12:05] [Catégorie(s): Intégration par parties ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 904
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:06

On effectue deux intégrations par parties successives à partir de la seconde intégrale : \[\begin{aligned} \int_{a}^{b} (x-a)(x-b)f''(x)\,\textrm{d}x &=& \underbrace{\Bigl[ (x-a)(x-b)f'(x) \Bigr]_{a}^{b}}_{=0}-\int_{a}^{b} \left(2x-\left(a+b\right)\right)f'\left(x\right) \,\textrm{d}x\\ &=&-{\Bigl[ \left(2x-\left(a+b\right)\right)f\left(x\right) \Bigr]_{a}^{b}}+2\int_{ a }^{ b } f\left( x \right) \,\textrm{d} x \\ &=& -\left(b-a\right)\left(f\left(a\right)+f\left(b\right)\right) +2\int_{ a }^{ b } f\left( x \right) \,\textrm{d} x \end{aligned}\] et on trouve la formule proposée.


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