Calculer \(I=\int_0^{\pi/2} t^2 \sin^2(t) \mathrm{ \;d}t\).


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[ID: 1796] [Date de publication: 12 mai 2021 12:05] [Catégorie(s): Intégration par parties ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 483
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:05

Pour tout \(t\in\mathbb{R}\), \(\sin^2 t= {\scriptstyle 1-\cos (2t)\over\scriptstyle 2}\). Donc \(I={\scriptstyle\pi^3\over\scriptstyle 48}-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\int_{0}^{{\pi}/{2}} t^2\cos (2t)\,\textrm{d}t\). Pour calculer \(\int_{0}^{{\pi}/{2}} t^2\cos (2t)\,\textrm{d}t\), on effectue deux intégrations par parties successives, les fonctions considérées étant bien de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\left[0,\pi/2\right]\) : \[\begin{aligned} \int_{0}^{{\pi}/{2}} t^2\cos (2t)\,\textrm{d}t&=&\Bigl[ \dfrac{t^2\sin\left(2t\right)}{2} \Bigr]_{0}^{\pi/2}-\int_{0}^{{\pi}/{2}} t\sin\left(2t\right)\,\textrm{d}t\\ &=&\Bigl[ \dfrac{t\cos\left(2t\right)}{2} \Bigr]_{0}^{\pi/2}-\dfrac{1}{2}\int_{0}^{{\pi}/{2}} \cos\left(2t\right)\,\textrm{d}t\\ &=&-\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{1}{4}\Bigl[ \sin\left(2t\right) \Bigr]_{0}^{\pi/2}\\ &=&{-\dfrac{\pi}{4}}\end{aligned}\] donc \(\boxed{I=\dfrac{\pi^3}{48}+\dfrac{\pi}{8}}\).


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