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[ID: 1794] [Date de publication: 12 mai 2021 12:05] [Catégorie(s): Intégration par parties ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

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Exercice 819
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 mai 2021 12:05

On vérifie que les fonctions considérées sont bien de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur les intervalles \(I\) considérés et on effectue des intégrations par parties, on trouve :

1. Sur \(I=\mathbb{R}\) : Comme \(\mathop{\mathrm{ch}}^2 x=\dfrac{\mathop{\mathrm{ch}}2x +1}{2}\), \(\int_{}^{} \mathop{\mathrm{ch}}^2 x\,\textrm{d}x=\dfrac{x}{2}+\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}2x}{4}+C^{te}\) et \(\int_{}^{} x\mathop{\mathrm{ch}}^2 x\,\textrm{d}x=\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x\mathop{\mathrm{sh}}2x}{4}-\int_{}^{} \left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}} 2x}{4}\right)\,\textrm{d}x=\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x\mathop{\mathrm{sh}}2x}{4}-\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{\mathop{\mathrm{ch}} 2x}{8}+C^{te}=\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{x\mathop{\mathrm{sh}}2x}{4}-\dfrac{\mathop{\mathrm{ch}}2x}{8}+C^{te}\).

2. Sur \(I=\left]-1,+\infty\right[\) : \(\int_{}^{} x\ln\left(x+1\right)\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{2}\left(x^2\ln\left(x+1\right)-\int_{}^{} \dfrac{x^2}{x+1}\,\textrm{d}x\right) =\dfrac{1}{2}\left(x^2\ln\left(x+1\right)-\dfrac{x^2}{2}+x-\ln\left(x+1\right)\right)+C^{te}\).

3. Sur \(I=\left]-1,1\right[\) : \(\int_{}^{} \mathop{\mathrm{argth}}x\,\textrm{d}x=x\mathop{\mathrm{argth}} x-\int_{}^{} \dfrac{x}{1-x^2}\,\textrm{d}x=x\mathop{\mathrm{argth}}x+\dfrac{1}{2}\ln\left(1-x^2\right)+C^{te}\).

4. Sur \(I=\mathbb{R}\) : on effectue deux intégrations par parties successives : \(\int_{}^{} \mathop{\mathrm{ch}}x\cos x\,\textrm{d}x=\cos x \mathop{\mathrm{sh}}x +\int_{}^{} \mathop{\mathrm{sh}}x \sin x\,\textrm{d}x=\cos x \mathop{\mathrm{sh}}x+\sin x\mathop{\mathrm{ch}}x -\int_{}^{} \cos x \mathop{\mathrm{ch}}x\,\textrm{d}x\). On en déduit que : \(\int_{}^{} \cos x \mathop{\mathrm{ch}} x\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{2}\left(\cos x \mathop{\mathrm{sh}}x+\sin x\mathop{\mathrm{ch}}x\right)+C^{te}\)

5. Sur \(I=\left]-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2},{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\right[\) : \(\int_{}^{} \dfrac{x}{\cos^2 x}\,\textrm{d}x=x\tan x-\int_{}^{} \tan x\,\textrm{d}x=x\tan x+\ln\left|\cos x\right|+C^{te}\)

6. Sur \(I=\mathbb{R}_+^*\) : on effectue deux intégrations par parties successives :\(\int_{}^{} x{\ln^2 x}\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{2}x^2\ln^2 x - \int_{}^{} x\ln x\,\textrm{d}x= \dfrac{1}{2}x^2\ln^2 x-\dfrac{1}{2}x^2\ln x+\dfrac{1}{2}\int_{}^{} x\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{2}\left(x^2\ln^2 x-x^2\ln x+\dfrac{x^2}{2}\right)+C^{te}\)