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[ID: 1792] [Date de publication: 12 mai 2021 12:05] [Catégorie(s): Intégration par parties ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

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Exercice 923
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 mai 2021 12:05

On vérifie que les fonctions considérées sont bien de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur les intervalles \(I\) considérés et on effectue des intégrations par parties, on trouve :

1. Sur \(I=\mathbb{R}_+^*\) : \(\int_{}^{} \ln x\,\textrm{d}x=x\ln x -\int_{}^{} 1\,\textrm{d}x=x\ln x - x+C^{te}\)

2. Sur \(I=\left[-1,1\right]\) : \(\int_{}^{} \operatorname{arcsin} x\,\textrm{d}x=x\operatorname{arcsin} x - \int_{}^{} \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\textrm{d}x=x\operatorname{arcsin} x + \sqrt{1-x^2}+C^{te}\)

3. Sur \(I=R\) : \(\int_{}^{} x\operatorname{arctan} x\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{2}\left(x^2\operatorname{arctan} x -\int_{}^{} \dfrac{x^2}{1+x^2}\,\textrm{d}x \right)\). Mais \(\int_{}^{} \dfrac{x^2}{1+x^2}\,\textrm{d}x=\int_{}^{} \left(\dfrac{1+x^2}{1+x^2}-\dfrac{1}{1+x^2}\right)\,\textrm{d}x =x-\operatorname{arctan} (x)+C^{te}\) donc : \(\int_{}^{} x\operatorname{arctan} x\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{2}\left(x^2\operatorname{arctan} x -x+\operatorname{arctan} (x)\right)+C^{te}=\dfrac{1}{2}\left(\left(x^2+1\right)\operatorname{arctan} x -x\right)+C^{te}\).

4. Sur \(I=\mathbb{R}\) : \(\int_{}^{} \left(x+1\right)\mathop{\mathrm{sh}}x\,\textrm{d}x=\left(x+1\right)\mathop{\mathrm{ch}}x-\int_{}^{} \mathop{\mathrm{ch}} x\,\textrm{d}x=\left(x+1\right)\mathop{\mathrm{ch}}x-\mathop{\mathrm{sh}}x+\mathbb{C}^{te}\)

5. Sur \(I=\mathbb{R}\) : \(\int_{}^{} \mathop{\mathrm{argsh}}\left(3x\right)\,\textrm{d}x=x\mathop{\mathrm{argsh}}\left(3x\right)-\int_{}^{} \dfrac{3x}{\sqrt{1+9x^2}}\,\textrm{d}x =x\mathop{\mathrm{argsh}}\left(3x\right)-\dfrac{ \sqrt{1+9x^2}}{3}+C^{te}\)

6. Sur \(I=\mathbb{R}\) : \(\int_{}^{} \ln\left(1+x^2\right)\,\textrm{d}x= x\ln\left(1+x^2\right)-\int_{}^{} \dfrac{2x^2}{1+x^2}\,\textrm{d}x=x\ln\left(1+x^2\right)-2x-2\operatorname{arctan} x+C^{te}\)