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[ID: 1790] [Date de publication: 12 mai 2021 12:05] [Catégorie(s): Intégration par parties ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

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Exercice 388
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 mai 2021 12:05

On vérifie que les fonctions considérées sont bien de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur les intervalles considérés et on effectue des intégrations par parties, on trouve :

1. \(\ln x = \ln x \times 1\), on trouve \(\int_{1}^{e} \ln x\,\textrm{d}x=\Bigl[ x\ln x \Bigr]_{1}^{e}-\int_{1}^{e} \,\textrm{d}x=\boxed{1}\).

2. \(\operatorname{arctan} x = 1\times \operatorname{arctan} x\). On a alors : \(\int_{0}^{1} \operatorname{arctan} x\,\textrm{d}x=[x\operatorname{arctan} x]_0^1 - \int_{0}^{1} {\scriptstyle x\over\scriptstyle 1+x^2}\,\textrm{d}x\) Mais \(\int_{0}^{1} {\scriptstyle x\over\scriptstyle 1+x^2}\,\textrm{d}x=\left[ {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2} \ln \left|1+x^2\right|\right]_0^1={\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\ln 2\). Donc \(\int_{0}^{1} \operatorname{arctan} x\,\textrm{d}x=\boxed{{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 4} - {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2} \ln 2}\).

3. On effectue deux intégrations par parties successives et on retrouve l’intégrale de départ : Notant \(I=\int_{0}^{{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}} e^x\cos x\,\textrm{d}x\), on a : \(I=\Bigl[ e^x\cos x \Bigr]_{0}^{{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}}+\int_{0}^{{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}} e^x \sin x\,\textrm{d}x =\Bigl[ e^x\cos x \Bigr]_{0}^{{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}}+\Bigl[ e^x \sin x \Bigr]_{0}^{{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}} -\int_{0}^{{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}} e^x\cos x\,\textrm{d}x= -1+e^{{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}}-I\). Donc \(\boxed{I=\dfrac{e^{{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}}-1}{2}}\).

4. \(\int_{0}^{1} \left(x+2\right)e^x\,\textrm{d}x=\Bigl[ \left(x+2\right)e^x \Bigr]_{0}^{1}-\int_{0}^{1} e^x\,\textrm{d}x =\boxed{2e-1}\)

5. Comme \(\sin^3 x=\dfrac{3\sin x-\sin 3x}{4}\), on a : \(\int_{}^{} \sin^3 x\,\textrm{d}x=-\dfrac{3}{4}\cos x + \dfrac{1}{12}\cos 3x\) et \(\int_{0}^{{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}} x\sin^3 x\,\textrm{d}x=\Bigl[ -\dfrac{3}{4}x\cos x + \dfrac{1}{12}x\cos 3x \Bigr]_{0}^{{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}}-\int_{0}^{{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}} \left(-\dfrac{3}{4}\cos x + \dfrac{1}{12}\cos 3x\right)\,\textrm{d}x= -\Bigl[ -\dfrac{3}{4}\sin x + \dfrac{1}{36}\sin 3x \Bigr]_{0}^{{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}}=\boxed{\dfrac{7}{9}}\)

6. \(\int_{0}^{\pi} \left(x-1\right)\cos x\,\textrm{d}x=\Bigl[ \left(x-1\right)\sin x \Bigr]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi} \sin x\,\textrm{d}x=\Bigl[ \cos x \Bigr]_{0}^{\pi}=\boxed{-2}\)