Déterminer les primitives suivantes:

  1. \(\int_{}^{} \sin^2 x\,\textrm{d}x\)

  2. \(\int_{}^{} \cos^4 x\,\textrm{d}x\)

  3. \(\int_{}^{} \mathop{\mathrm{sh}}^5 x\,\textrm{d}x\)

  4. \(\int_{}^{} \cos^2 x\sin 2x\,\textrm{d}x\)

  5. \(\int_{}^{} \mathop{\mathrm{ch}}^2 x\mathop{\mathrm{sh}}^2 x\,\textrm{d}x\)

  6. \(\int_{}^{} \mathop{\mathrm{sh}}x \mathop{\mathrm{ch}}x\,\textrm{d}x\).


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[ID: 1788] [Date de publication: 12 mai 2021 12:04] [Catégorie(s): Linéarisation ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 359
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:04

On utilise le procédé de linéarisation des expressions trigonométriques [tech_alg:subsec_prob_de_linearisation] page [tech_alg:subsec_prob_de_linearisation] et on obtient, pour tout \(x\in \mathbb{R}\) :

  1. \(\sin^2 x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}\) et \(\int_{}^{} \sin^2 x\,\textrm{d}x=\dfrac{x-\sin x\cos x}{2}+C^{te}\)

  2. \(\cos^4 x=\dfrac{\cos 4x}{8} +\dfrac{\cos\left(2x\right)}{2}+\dfrac{3}{8}\) et \(\int_{}^{} \cos^4 x\,\textrm{d}x=-\dfrac{1}{32}\sin 4x-\dfrac{1}{4}\sin 2x+\dfrac{3}{8}x+C^{te}\)

  3. \(\mathop{\mathrm{sh}}^5 x=\dfrac{1}{16}\mathop{\mathrm{sh}}5x-\dfrac{5}{16}\mathop{\mathrm{sh}}3x + \dfrac{5}{8}\mathop{\mathrm{sh}}x\) et \(\int_{}^{} \mathop{\mathrm{sh}}^5 x\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{80}\mathop{\mathrm{ch}}5x-\dfrac{5}{48}\mathop{\mathrm{ch}}3x+\dfrac{5}{8}\mathop{\mathrm{ch}}x+C^{te}\) 0n peut aussi remarquer que \(\textrm{sh}^5 x = \textrm{sh}\,x(\textrm{ch}^2-1)^2\) et que \(\int \textrm{sh}^5 x\,\textrm dx = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 6} (\textrm{ch}^2-1)^3+C\).

  4. \(\cos^2 x\sin 2x= \dfrac{1}{4}\sin 4x+ \dfrac{1}{2}\sin 2x\) et \(\int_{}^{} \cos^2 x\sin 2x\,\textrm{d}x=-\dfrac{1}{16}\cos 4x-\dfrac{1}{4}\cos 2x+C^{te}\). 0n peut aussi remarquer que \(\cos^2 x\sin 2x=2\sin x\cos^3 x\) et donc \(\int_{}^{} \cos^2 x\sin 2x\,\textrm{d}x=-\dfrac{1}{2}\cos^4 x+C\).

  5. \(\mathop{\mathrm{ch}}^2 x\mathop{\mathrm{sh}}^2 x=\dfrac{\mathop{\mathrm{ch}}4x-1}{8}\) et \(\int_{}^{} \mathop{\mathrm{ch}}^2 x\mathop{\mathrm{sh}}^2 x\,\textrm{d}x=\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}4x}{32}-\dfrac{1}{8}x+C^{te}\)

  6. Inutile de linéariser...\(\int_{}^{} \mathop{\mathrm{sh}}x \mathop{\mathrm{ch}}x\,\textrm{d}x=\dfrac{\mathop{\mathrm{ch}}^2 x}{2}+C^{te}\).


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