Déterminer les primitives suivantes:

  1. \(\int_{}^{} {\scriptstyle x^2\over\scriptstyle 1+x^3}\,\textrm{d}x\)

  2. \(\int_{}^{} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\left(2x+1\right)^3}\,\textrm{d}x\)

  3. \(\int_{}^{} \sqrt{1-x}\,\textrm{d}x\)

  4. \(\int_{}^{} \cos x \sin x \,\textrm{d}x\)

  5. \(\int_{}^{} \dfrac{1}{x\ln x}\,\textrm{d}x\)

  6. \(\int_{}^{} x\sqrt{1+x^2}\,\textrm{d}x\)


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[ID: 1778] [Date de publication: 12 mai 2021 12:01] [Catégorie(s): Calcul de primitives ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 4
Par emmanuel le 12 mai 2021 12:01

On utilise à chaque fois, là où elle est valide, la formule :\(\int u' u^a=\begin{cases} \dfrac{1}{a+1} u^{a+1} +C &\textrm{ si } a\in\mathbb{R}\setminus\left\{-1\right\}\newline \ln \vert u\vert +C&\textrm{ si } a=-1\end{cases}\).

  1. \(\int_{}^{} {\scriptstyle x^2\over\scriptstyle 1+x^3}\,\textrm{d}x = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}\ln \left|1+x^3\right|+C^{te}\) sur \(\mathbb{R}\)

  2. \(\int_{}^{} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle\left(2x+1\right)^3}\,\textrm{d}x= -\dfrac{1}{4\left(2x+1\right)^2}+C^{te}\) sur \(\mathbb{R}\setminus \left\{-1/2\right\}\)

  3. \(\int_{}^{} \sqrt{1-x}\,\textrm{d}x=-\dfrac{2}{3}\left(1-x\right)^{{\scriptstyle 3\over\scriptstyle 2}}+C^{te}\) sur \(\left]-\infty,1\right]\).

  4. \(\int_{}^{} \cos x \sin x \,\textrm{d}x = {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\sin^2 x + C^{te}\) sur \(\mathbb{R}\).

  5. \(\int_{}^{} \dfrac{1}{x\ln x}\,\textrm{d}x=\ln \left|\ln x\right| + C^{te}\) sur \(\mathbb{R}_+^*\setminus\left\{1\right\}\).

  6. \(\int_{}^{} x\sqrt{1+x^2}\,\textrm{d}x=\dfrac{1}{3}\left(1+x^2\right)^{{\scriptstyle 3\over\scriptstyle 2}}+C^{te}\) sur \(\mathbb{R}\).


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