Soit \(ABCD\) un parallélogramme. Montrer que \[AC^2+BD^2 = AB^2+BC^2+CD^2+DA^2.\]


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[ID: 118] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:22] [Catégorie(s): Produit scalaire et déterminant ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 335
Par emmanuel le 4 janvier 2021 18:22

Soit \(I\) le milieu de \([AC]\) et donc aussi le milieu de \([BD]\). \[\begin{aligned} AB^2+BC^2+CD^2+DA^2 &= \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}.\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}.\overrightarrow{DA}\\ &= \left( \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}\right).\left( \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}\right) + \left( \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC}\right).\left( \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC}\right) + \left( \overrightarrow{CI}+\overrightarrow{ID}\right).\left( \overrightarrow{CI}+\overrightarrow{ID}\right) + \left( \overrightarrow{DI}+\overrightarrow{IA}\right).\left( \overrightarrow{DI}+\overrightarrow{IA}\right)\\ &= AI^2 + IB^2 + {\red 2\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{IB}} + BI^2 + IC^2 + {\green 2\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{IC}} + CI^2 + ID^2 + {\green 2\overrightarrow{CI}.\overrightarrow{ID}} + DI^2 + IA^2 + {\red 2\overrightarrow{DI}.\overrightarrow{IA}}\\ &= 4AI^2 + 4BI^2 + {\red 2\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{ID}} + {\green 2\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{IC}+2\overrightarrow{DI}.\overrightarrow{IC}}\\ &= AC^2+BD^2 + {\red 2\overrightarrow{AI}.\left( \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{ID}\right) } + {\green 2\left( \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{DI}\right) .\overrightarrow{IC}}\\ &= AC^2+BD^2\end{aligned}\]


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