Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points du plan. Montrer que : \[\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}\right)=\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)\]

  1. En raisonnant géométriquement.

  2. En utilisant la bilinéarité et l’antisymétrie du produit scalaire


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[ID: 114] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:21] [Catégorie(s): Produit scalaire et déterminant ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 956
Par emmanuel le 4 janvier 2021 18:22
  1. Orientons le triangle \(ABC\) dans le sens direct. On peut choisir une détermination dans \(\left[0,\pi\right]\) pour les trois angles \(\left(\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}}\right)\), \(\left(\widehat{\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}}\right)\), \(\left(\widehat{\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}}\right)\). Les trois déterminants sont alors positifs et sont de plus chacun égaux au double de l’aire du triangle \(ABC\), ce qui prouve les égalités.

  2. D’après la relation de Chasles et en utilisant la bilinéarité et l’antisymétrie du produit scalaire : \[\begin{aligned} \mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)&=&\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)\\ &=&\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AB}\right)+\mathop{\rm det}\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)\\ &=&-\mathop{\rm det}\left( \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)\\ &=&\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}\right).\end{aligned}\] On prouve de même la dernière égalité.


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