Soient \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs du plan. Développer :

  1. \(\left\|\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\right\|^2-\left\|\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}\right\|^2\).

  2. \(\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v},\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}\right)\)


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[ID: 112] [Date de publication: 4 janvier 2021 18:21] [Catégorie(s): Produit scalaire et déterminant ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 138
Par emmanuel le 4 janvier 2021 18:21
  1. Comme le produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique, on a, pour tous vecteurs \(\overrightarrow{a}\) et \(\overrightarrow{b}\) du plan :
    \(\left\|\overrightarrow{a}\right\|^2-\left\|\overrightarrow{b}\right\|^2=\left<\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right>\) donc \[\begin{aligned} \left\|\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\right\|^2-\left\|\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}\right\|^2&=&\left<2\overrightarrow{u}|2\overrightarrow{b}\right>\\ &=&4\left<\overrightarrow{u}|\overrightarrow{v}\right> \end{aligned}\]

  2. De même, comme le déterminant est une forme bilinéaire anti-symétrique alternée, il vient : \[\begin{aligned} \mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v},\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}\right)&=&2\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)\end{aligned}\]


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