Déterminer suivant les valeurs des réels \(m,a,b,c\) les solutions du système : \[\left\{ \begin{array}{*8{c@{\;}}} x&-& y&-&m z&=&a\\ x&+&2y&+& z&=&b\\ x&+& y&-& z&=&c \end{array} \right.\]


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[ID: 1768] [Date de publication: 1 avril 2021 11:57] [Catégorie(s): Systèmes linéaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 832
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:57

La matrice de ce système linéaires est \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&-1&-m\\1&2&1\\1&1&-1 \end{array}\right)\) et \(\mathop{\mathrm{rg}}\left(A\right)=\begin{cases} 2 &\textrm{ si } m=5 \\ 3 &\textrm{ sinon } \end{cases}\).

  • Si \(m=5\) le système devient : \(\left\{ \begin{aligned} x&-y&-5z&=&a \cr x&+2y&+z&=&b \cr x&+y&-z&=&c \end{aligned}\right.\) qui est équivalent à : \(\left\{ \begin{aligned} x&-y&-5z&=&a \cr &y+&2z&=&\dfrac{b-a}{3} \cr &y&+2z&=&\dfrac{c-a}{2} \end{aligned}\right.\). Il n’est compatible que si \(\dfrac{b-a}{3}= \dfrac{c-a}{2}\). Dans ce cas, l’ensemble de ses solutions est : \(\left(\dfrac{2a+b}{3},\dfrac{b-a}{3},0\right)+Vect\left(3,-2,1\right)\).

  • Le système est de Cramer si \(m\neq 5\). Il admet une et une seule solution donnée par: \[\left(-{{\scriptstyle 3\,a+\left(m+1\right)b+\left(1-2m\right)c\over\scriptstyle m-5}}, {\scriptstyle 2\,a-(m+1)c+(m-1)b\over\scriptstyle m-5} ,-{{\scriptstyle a+2\,b-3\,c\over\scriptstyle m-5}}\right)\]


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