Déterminer suivant les valeurs des réels \(m,a,b,c\) les solutions du système : \[\left\{ \begin{aligned} mx&+my&+mz&=&a \cr x&+my&+z&=&b \cr x&+y&+mz&=&c \end{aligned}\right.\]


Barre utilisateur

[ID: 1766] [Date de publication: 1 avril 2021 11:57] [Catégorie(s): Systèmes linéaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 33
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:57

La matrice de ce système linéaire est \(A=\left(\begin{array}{ccc}m&m&m\\1&m&1\\1&1&m \end{array}\right)\) et \(\mathop{\mathrm{rg}}\left(A\right)=\begin{cases} 2 &\textrm{ si } m=0 \\ 1 &\textrm{ si } m=1 \\ 3 &\textrm{ sinon } \end{cases}\).

  • Si \(m=0\) le système devient : \(\left\{ \begin{aligned} &&0&=&a \cr x&&+z&=&b \cr x&+y&&=&c \end{aligned}\right.\). Il n’est compatible que si \(a=0\). Dans ce cas, l’ensemble de ses solutions est : \(\left(b,c-b,0\right)+Vect\left(-1,1,1\right)\).

  • Si \(m=1\) le système est : \(\left\{ \begin{aligned} x&+y&+z&=&a \cr x&+y&+z&=&b \cr x&+y&+z&=&c \end{aligned}\right.\). Il n’est compatible que si \(a=b=c\). Dans ce cas, l’ensemble solution est \(\left(a,0,0\right)+Vect\left(\left(-1,1,0\right),\left(0,1,-1\right)\right)\)

  • Le système est de Cramer si \(m\neq 0\) et \(m\neq 1\). Il admet une et une seule solution donnée par: \[\left( {{\scriptstyle\left(m+1\right)a-cm-mb\over\scriptstyle m \left( m-1 \right) }},-{{\scriptstyle-mb+a\over\scriptstyle m \left( m-1 \right) }},-{{\scriptstyle a-cm\over\scriptstyle m \left( m-1 \right) }}\right)\]


Documents à télécharger