Soit \(f\) l’application linéaire qui fait correspondre au vecteur \(\left(x,y,z\right)\) le vecteur \(\left(a,b,c,d\right)\) dont les coordonnées sont définies par le système suivant : \[\left\{ \begin{aligned} -x&-y&+mz&=&a \cr -mx&+y&+mz&=&b \cr x&-y&-mz&=&c \cr mx&+y&+z&=&d \end{aligned}\right.\] Déterminer suivant les valeurs du paramètre réel \(m\), le rang de \(f\). En déduire le nombre de solutions du système précédent puis le résoudre en fonction du second membre.


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[ID: 1764] [Date de publication: 1 avril 2021 11:57] [Catégorie(s): Systèmes linéaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 434
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:57

Après permutation des deuxièmes et troisièmes lignes, on effectue des oel sur le tableau :
\[\begin{array}{rrr|rcrrr|c} -1 & -1 & m & a & &-1 & -1 & m & a \\ 1 & -1 & -m & c & L_2\leftarrow L_2+L_1 & 0 & -2 & 0 & a+c \\ -m& 1 & m & b & L_3\leftarrow L_3-mL_1 & 0 & 1+m& m-m^2 & b-ma \\ m & 1 & 1 & d & L_4\leftarrow L_4+mL_1 & 0 & 1-m& 1 + m^2 & d+ma \end{array}\] \[\begin{array}{crrr|c} &-1 & -1 & m & a \\ & 0 & -2 & 0 & a+c\\ L_3\leftarrow L_3+{\scriptstyle 1+m\over\scriptstyle 2}L_2&0&0&m-m^2 &b-ma+{\scriptstyle 1+m\over\scriptstyle 2}(a+c)\\ L_4\leftarrow L_4+{\scriptstyle 1-m\over\scriptstyle 2}L_2&0&0&1 + m^2&d+ma+{\scriptstyle 1-m\over\scriptstyle 2}(a+c) \end{array}\] En prenant les lignes \(L_1\), \(L_2\) et \(L_4\) on voit que le rang du système égale \(3\). Donc s’il existe une solution, alors elle est unique.

On résout donc le système (triangulaire) en \(x,y\) et \(z\) grâce aux lignes \(L_1\), \(L_2\) et \(L_4\). La ligne \(L_3\) sert de vérification : Si \[\left(m-m^2\right)z = \dfrac{m-m^2}{1 + m^2} \left(d+ma+{\scriptstyle 1-m\over\scriptstyle 2}(a+c)\right) = b-ma+{\scriptstyle 1+m\over\scriptstyle 2}(a+c),\] alors le système est compatible et admet une solution unique. Sinon il n’admet pas de solution.


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