Résoudre les systèmes suivants à l’aide du déterminant : \[\left\{ \begin{aligned} x&+y&-z&=& 0 \cr x&+3y&+z&=&0 \cr 2x&+y&-3z&=&0\cr -x&+2y&+4z&=&0 \end{aligned}\right. \quad \textrm{ et} \quad \left\{ \begin{aligned} x&+y&+2z&=&1 \cr 2x&+y&+z&=&2 \cr -x&-2y&-5z&=&-1 \end{aligned}\right.\]


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[ID: 1762] [Date de publication: 1 avril 2021 11:57] [Catégorie(s): Systèmes linéaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 475
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:57

Premier système : \(\begin{vmatrix} 1 &1 &-1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \end{vmatrix} = 0\) et \(\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ -1 & 2 & 4\end{vmatrix} = 0\) donc le système est de rang \(\leqslant 2\). Comme \(\begin{vmatrix} 1 &1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} \neq0\) le système est de rang \(2\). On a une droite de solution, l’intersection des deux plans \(x+y-z= 0\) et \(x+3y+z=0\), autrement dit la droite vectorielle engendrée par \((-2,1,-1)\).
Deuxième système : \(\begin{vmatrix} 1 &1 & 2 \\ 2& 1 & 1 \\ -1 & -2 & -5 \end{vmatrix} = 0\) donc le système est de rang \(\leqslant 2\). Comme \(\begin{vmatrix} 1 &2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \neq0\) le système est de rang \(2\) et on peut choisir \(x\) comme paramètre. On résout alors en \(y\) et \(z\) le système des deux premières équations en fonction de \(x\). Soit \(y = 3 - 3x\) et \(z = x-1\). On vérifie enfin avec la troisième équation : \(-x-6+6x-5x+5 = -1\).


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