On considère, pour un paramètre réel \(m\), les sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^3\) :

\[F=\left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3 ~|~ x+my+z=0 \quad \textrm{ et} \quad mx+y-mz=0\right\}\] \[\quad \textrm{ et} \quad G=\left\{\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3 ~|~ x-my+z=0 \right\}\]

  1. Déterminer la dimension de \(F\) et de \(G\).

  2. Discuter suivant les valeurs de \(m\) la dimension du sous-espace vectoriel \(F\cap G\).


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[ID: 1758] [Date de publication: 1 avril 2021 11:57] [Catégorie(s): Systèmes linéaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 305
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:57
  1. Que \(m\) soit égal à \(1\) ou non, \(\dim F = 1\) car le rang de \(\begin{pmatrix} 1 &m &1 \\ m & 1 & -m \end{pmatrix}\) égale \(2\). \(\dim G = 2\).

  2. \(\begin{vmatrix} 1 &m &1 \\ m & 1 & -m \\ 1 & -m & 1 \end{vmatrix} = -4m^2\). Si \(m=0\), alors \(F\cap G\) est de dimension \(1\), et de dimension \(0\) sinon.


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