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Exercice 977
Résoudre dans \(\mathbb{R}^3\) les systèmes :
\(\left\{ \begin{aligned} x&-y&+z&=&1\cr &3y&-z&=&2\cr & &2z&=&8 \end{aligned}\right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} x&-y&+2z&=&1\cr 2x&-3y&+z&=&4\cr x&-3y&-4z&=&5 \end{aligned}\right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} x&+2y&+3z&=&1\cr -x&-3y&+5z&=&2\cr x&+y&+z&=&-1 \end{aligned}\right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} &y&+3z&=&0\cr x&+2y&+6z&=&2\cr 7x&+3y&+9z&=&14 \end{aligned}\right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} x&+2y&+z&=&2\cr 2x&+y&+z&=&-1\cr x&-3y&+2z&=&-1 \end{aligned}\right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} 2x&-y&+3z&=&1\cr x&+y&-z&=&2\cr x&-2y&+4z&=&1 \end{aligned}\right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} 2x&-y&+3z&=&0\cr x&+y&+2z&=&0 \end{aligned}\right.\)
\(\left\{ \begin{aligned} x&+y&-z&=&1\cr 2x&+2y&-2z&=&2\cr -x&-y&+z&=&-1 \end{aligned}\right.\)
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[ID: 1752] [Date de publication: 1 avril 2021 11:57] [Catégorie(s): Systèmes linéaires ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]Solution(s)
Solution(s)
Exercice 977
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 1 avril 2021 11:57
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 1 avril 2021 11:57
En remontant, on trouve successivement : \(z = 4;\; y = 2;\; x = -1\).
\(\left\lbrace \begin{array}{rrrrrrr} x &-& y &+& 2z &=& 1 \\ 2x&-& 3y &+& z &= & 4 \\ x &-& 3y &-& 4z &= & 5 \end{array}\right. \begin{array}{ccc} \phantom{L_1}&&\\ L_2 & \longleftarrow & L_2 - 2L_1 \\ L_3 & \longleftarrow & L_3 - L_1 \end{array} \left\lbrace \begin{array}{rrrrrrr} x &-& y &+& 2z &=& 1 \\ & -&y &-& 3z &= & 2 \\ & -&2y &-& 6z &= & 4 \end{array}\right.\).
Les deux dernières équations sont équivalentes. Le système est de rang \(2\) et compatible. En prenant \(z\) comme paramètre, l’ensemble des solutions est \(\left\lbrace(-5z-1,-3z-2,z)\mid z\in \mathbb{K}\right\rbrace\).
Système de Cramer : \(\left\lbrace \left( -{\scriptstyle 5\over\scriptstyle 2},1,{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\right) \right\rbrace\).
Système de rang \(2\) et compatible. \(\left\lbrace(2,-3z,z)\mid z\in \mathbb{K}\right\rbrace\).
Système de Cramer : \(\left\lbrace \left( -2,1,2\right) \right\rbrace\).
Système de rang \(2\) mais pas compatible. Pas de solution.
\(\left\{ \begin{aligned} 2x&-y&+3z&=&0\cr x&+y&+2z&=&0 \end{aligned}\right.\) soit \(\left\{ \begin{aligned} 2x&-y&+3z&=&0\cr 3x&&+5z&=&0 \end{aligned}\right.\). Le système est de rang \(2\), donc compatible. En prenant \(z\) comme paramètre, l’ensemble des solutions est \(\left\lbrace\left( -{\scriptstyle 5\over\scriptstyle 3}z,-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3}z,z\right) \mid z\in \mathbb{K}\right\rbrace\).
Le système est clairement de rang \(1\) et compatible (on a trois fois la même équation). L’ensemble des solutions est le plan d’équation \(x + y - z = 1\).
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