1. Soit \(M \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{Z}})\). Montrer que \(M \in GL_n(\mathbb{Z})\) si et seulement si \(|\det M| = 1\).

  2. Soit \(X = \begin{pmatrix}x_{1} \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix} \in \mathcal M _{n,1}(\mathbb{Z})\) et \(d\) le pgcd de \(x_{1},\dots, x_n\). Montrer qu’il existe \(A \in GL_n(\mathbb{Z})\) telle que \(AX = \begin{pmatrix}d \\ 0\\ \vdots \\ 0\end{pmatrix}\) (par récurrence sur \(n\)).

  3. Soient \(X,Y \in \mathcal M _{n,1}(\mathbb{Z})\). CNS pour qu’il existe \(A \in GL_n(\mathbb{Z})\) telle que \(AX = Y\) ?

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[ID: 4649] [Date de publication: 11 avril 2024 17:52] [Catégorie(s): Matrices semblables, équivalentes ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




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Classes d’équivalence dans \(\mathcal M _{n,1}(\mathbb{Z})\)
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