Soit une matrice \(A\in\mathfrak{M}_{2}(\mathbb{R})\) vérifiant \(A^2=I\) et telle que \(A\) n’est pas une matrice scalaire. Montrer que \(A\) est semblable à la matrice \(\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{pmatrix}\)


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[ID: 1748] [Date de publication: 1 avril 2021 11:56] [Catégorie(s): Matrices semblables, équivalentes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 99
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:56

Soit \(E=\mathbb{R}^{2}\) et \(e=(e_1,e_2)\) la base canonique de \(E\). Il existe un unique endomorphisme \(u\) de \(E\) ayant \(A\) comme matrice dans la base \(e\). Puisque \(A^2=I\), \(u^2=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\) et donc \(u\) est une symétrie vectorielle. On a \[E=\operatorname{Ker}(u-\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)\oplus\operatorname{Ker}(u+\mathop{\mathrm{id}}\nolimits).\] En effet, on peut toujours écrire \(x = \dfrac12 \left( x + u(x) \right) + \dfrac12 \left( x - u(x) \right)\) avec \(x + u(x)\in\operatorname{Ker}(u-\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)\) et \(x - u(x)\in\operatorname{Ker}(u+\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)\). L’intersection de \(\operatorname{Ker}(u-\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)\) et \(\operatorname{Ker}(u+\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)\) étant bien sûr réduite au vecteur nul.

Comme \(A\) n’est pas scalaire, \(u\neq \mathop{\mathrm{id}}\nolimits\) et \(u\neq -\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\). Par conséquent, aucun des deux noyaux n’est \(\mathbb R^2\) tout entier. Les noyaux \(\operatorname{Ker}(u-\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)\) et \(\operatorname{Ker}(u+\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)\) sont donc des droites vectorielles. Considérons \(f_1\neq 0\) un vecteur de \(\operatorname{Ker}(u-\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)\) et \(f_2\neq 0\) un vecteur de \(\operatorname{Ker}(u+\mathop{\mathrm{id}}\nolimits)\). D’après le théorème sur les bases adaptées à une somme directe, \(f=(f_1,f_2)\) est une base de \(E\). Dans cette base, \[D= Mat_f(u)=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\]

De la même façon, il existe un unique endomorphisme \(v\) ayant \(B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\) comme matrice dans la base canonique. Comme \(B^2=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits\), le même raisonnement montre que \(v\) est une symétrie vectorielle et permet de construire une base \(g\) dans laquelle \(Mat_g(v)=D\).

Par conséquent, puisque \(A\) et \(D\) sont semblables et que \(B\) et \(D\) sont semblables, on en déduit que \(A\) et \(B\) sont semblables.


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