Á quelle condition deux matrices \(E_{pq}\) et \(E_{kl}\) de la base canonique de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\) sont-elles semblables ?


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[ID: 1746] [Date de publication: 1 avril 2021 11:56] [Catégorie(s): Matrices semblables, équivalentes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 599
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:56

Considérons l’espace vectoriel \(E = \mathbb{K}^{n}\) muni de sa base canonique.

  1. Une condition nécessaire est que les matrices aient même trace. Donc si \(p=q\) et \(k\neq l\), (ou bien \(p\neq q\) et \(k = l\)), les deux matrices ne sont pas semblables.

  2. Montrons que deux matrices \(E_{pp}\) et \(E_{qq}\) (\(p \neq q\)) sont semblables. Soit \(u\) l’unique endomorphisme de \(E\) tel que \(\mathop{\mathrm{Mat}}_e(u) = E_{pp}\). Considérons la base \(e'\) obtenue en permutant les deux vecteurs \(e_p\) et \(e_q\). Dans la base \(e'\), la matrice de \(u\) est \(E_{qq}\). Par conséquent, les deux matrices \(E_{pp}\) et \(E_{qq}\) représentent le même endomorphisme dans deux bases différentes : elles sont semblables. Complément : écrivez la matrice de passage de la base \(e\) vers la base \(e'\), et son inverse.

  3. Soient quatre indices \((p, q) \in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]^2\) avec \(p\neq q\) et \((k, l) \in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]^2\) avec \(k \neq l\). Notons \(u\) l’unique endomorphisme ayant pour matrice \(E_{pq}\) dans la base \(e\). Considérons la base \(e'\) obtenue en échangeant les vecteurs \(e_q \leftrightarrow e_l\) et \(e_p \leftrightarrow e_k\). Alors la matrice de l’endomorphisme \(u\) dans la base \(e'\) est la matrice \(E_{kl}\) (faire un dessin et vérifier ce résultat même lorsque \(p=q\) ou \(k=l\)). Donc les matrices \(E_{pq}\) et \(E_{kl}\) sont semblables. Pouvez-vous écrire la matrice de passage \(P_{e\rightarrow e'}\) correspondante ? Quel est son inverse ?


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