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Exercice 575
On considère la matrice \(P=\left( \begin{array}{ccc} 0 & & 1 \\ & \nearrow & \\ 1 & & 0 \end{array}\right)\).
Montrer que la matrice \(P\) est inversible et calculer son inverse \(P^{-1}\).
Pour une matrice \(A\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{K})\), calculer la matrice \(PAP\).
En déduire qu’une matrice triangulaire inférieure est semblable à une matrice triangulaire supérieure.
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[ID: 1744] [Date de publication: 1 avril 2021 11:56] [Catégorie(s): Matrices semblables, équivalentes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]Solution(s)
Solution(s)
Exercice 575
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 1 avril 2021 11:56
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 1 avril 2021 11:56
Soit \(E=\mathbb{R}^{n}\) et \(e=(e_1,\dots,e_n)\) la base canonique de \(E\). Alors il existe un unique \(\ u \in L(E)\) tel que \(\textrm{ Mat}_{e}\left(u\right)=P\). On a pour tout \(i\in \llbracket 1,n\rrbracket\), \(u(e_i)=e_{n-i+1}\) et \(u^2(e_i)=e_i\), donc \(P^2=I_n\). Par conséquent, \(P\in GL_n(\mathbb{R} )\) et \(P^{-1}=P\).
Puisque \(P=\sum_{k=1}^n E_{k, n-k+1}\), \[PAP = \sum_{1\leqslant i,j,k,l\leqslant n} a_{ij} E_{k, n-k+1}E_{ij}E_{n-l+1,l}= \sum_{i,j,k,l} \delta_{n+1-k,i}\delta_{j, n+1-l}E_{k,l}= \sum_{k,l} a_{n+1-k, n+1-l}E_{kl}\] La matrice \(PAP\) s’obtient en faisant deux symétries de \(A\) par rapport aux deux diagonales.
Puisque \(P^{-1}=P\), \(PAP^{-1}\) est une matrice triangulaire supérieure lorsque \(A\) est une matrice triangulaire inférieure.
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