On considère une matrice \(A\in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R} })\) qui s’écrit: \[A= \begin{pmatrix} B & C \\ {D}^{\mathrm{T}} & a \end{pmatrix}\] où \(B\in \mathfrak{M}_{n-1}(\mathbb{\mathbb{R} })\), \(C,D \in \mathfrak{M}_{n-1,1}(\mathbb{\mathbb{R} })\) et \(a\in \mathbb{R}\). On suppose que \(B\) est inversible. Montrer que \(A\) est inversible si et seulement si \[a \neq ^{t}DB^{-1}C\]

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[ID: 1742] [Date de publication: 1 avril 2021 11:56] [Catégorie(s): Matrices semblables, équivalentes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 424
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 1 avril 2021 11:56

Si \(A\) n’était pas inversible, il existerait \(X\) tel que \(AX=0\) avec \(X\neq 0\). De plus, \(x_n \neq 0\) (car \(B\) inversible). En notant \(\tild{X}=(x_1,\dots,x_{n-1})\), on obtiendrait que \(B\tild X + x_nC = 0\) et \(^{t}D\tild{X}+ax_n=0\), d’où la relation.

Réciproquement, si \(a = ^{t}DB^{-1}C\), alors on construit un vecteur \(X = -\left( B^{-1}C,-1\right)\) , on a \(AX = 0\) avec bien sûr \(X \neq 0\).

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