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Exercice 709
Soient deux matrices \(A, B \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\) , avec \(A\) inversible.
Montrer que \(AB\) et \(BA\) sont semblables.
Montrer que le résultat est faux si \(A\) n’est pas inversible.
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[ID: 1740] [Date de publication: 1 avril 2021 11:56] [Catégorie(s): Matrices semblables, équivalentes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]Solution(s)
Solution(s)
Exercice 709
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 1 avril 2021 11:56
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 1 avril 2021 11:56
Si \(A\) est inversible, il suffit d’écrire \(AB = A(BA)A^{-1}\)
Soit \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\). Les matrices \(AB = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) et \(BA = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) n’ont pas même rang et n’ont donc aucune chance d’être semblables.
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