Trouver les matrices \(E_{ij}\) de la base canonique de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{R})\) semblables à une matrice diagonale.


Barre utilisateur

[ID: 1734] [Date de publication: 1 avril 2021 11:56] [Catégorie(s): Matrices semblables, équivalentes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 176
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:56

Ce sont celles qui sont déjà des matrices diagonales, c’est-à-dire celles pour lesquelles \(i=j\). En effet supposons l’espace d’un instant qu’une matrice \(E_{ij}\) soit semblable à une matrice diagonale \(D\) avec \(i\neq j\). On en déduit que \(0 = E_{ij}^2\) est semblable à \(D^2\), donc \(D^2 = 0\) donc \(D=0\) puisque \(D\) est diagonale. Donc le rang de \(D\) égale \(0\), alors que celui de \(E_{ij}\) égale \(1\). Comme deux matrices semblables ont même rang, on a une contradiction.


Documents à télécharger