1. Soit un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension finie et un endomorphisme \(u \in L(E)\) de rang \(1\). Montrer qu’il existe \(\lambda \in \mathbb{K}\) tel que \(u^2 = \lambda u\).

  2. Soit \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} })\). Montrer que \({\mathop{\mathrm{rg}}(A) = 1} \Leftrightarrow {\exists (X, Y) \in {\mathfrak{M}_{n1}(\mathbb{\mathbb{K} }) ^*}^2~ A = X {Y}^{\mathrm{T}}}\).


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[ID: 1732] [Date de publication: 1 avril 2021 11:54] [Catégorie(s): Changement de base ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 571
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:54
  1. Comme \(\mathop{\mathrm{rg}}\left(u\right)=1\), d’après la formule du rang, \(\operatorname{Ker}u\) est de dimension \(n-1\)\(n=\dim E\). Soit \(e'\) une base de \(\operatorname{Ker}u\). On applique le théorème de base incomplète pour compléter par un vecteur \(e_n\in E\) en une base \(e\) de \(E\). Comme \(\mathop{\mathrm{Vect}}\left(e_n\right)=\mathop{\mathrm{Im}}u\), il existe \(\lambda \in\mathbb{K}^*\) tel que \(u\left(e_n\right)=\lambda e_n\). Soit \(x=\sum_{i=1}^n x_i e_i\in E\) alors \(u\left(x\right)= x_n u\left(e_n\right)=x_n \lambda e_n\) et \(u^2\left(x\right)=x_n \lambda^2 {e_n}=\lambda u\left(x\right)\) et la propriété est prouvée.

    • Supposons que \(\mathop{\mathrm{rg}}\left(A\right)=1\). Soit \(b\) la base canonique de \(\mathbb{K}^n\). Il existe \(u\in L\left(\mathbb{K}^n\right)\) tel que \(\textrm{ Mat}_{b}\left(u\right)=A\). Comme \(\mathop{\mathrm{rg}}\left(u\right)=\mathop{\mathrm{rg}}\left(A\right)=1\), d’après la question \(1\), on sait qu’il existe une base \(e\) de \(\mathbb{K}^n\) tel que \(u\left(e_i\right)=0\) pour tout \(i\in\llbracket 1,n-1\rrbracket\) et \(u\left(e_n\right)=\lambda e_n\)\(\lambda\in\mathbb{K}^*\). Donc \[\textrm{ Mat}_{e}\left(u\right)=\begin{pmatrix} 0&\dots&0&0\\ \vdots&&\vdots&\vdots\\ \vdots&&\vdots&0\\equ 0&\dots&0&\lambda\\ \end{pmatrix}=\lambda X_0 {X_0}^{\mathrm{T}}\] avec \(X_0= {\left(0,\dots,0,1\right)}^{\mathrm{T}}\in \mathfrak{M}_{n1}(\mathbb{\mathbb{K} })\). Si \(P=P_{b\rightarrow e}\) alors \(A=P X_0 {X_0}^{\mathrm{T}} P^{-1}=X{Y}^{\mathrm{T}}\) avec \(X=\lambda P X_0 \in \mathfrak{M}_{n1}(\mathbb{\mathbb{K} })\) et \(Y={P^{-1}}^{\mathrm{T}}X_0\in \mathfrak{M}_{n1}(\mathbb{\mathbb{K} })\). Remarquons que \(X\) et \(Y\) sont non nuls car c’est le cas de \(X_0\) et que \(P\) est inversible.

    • Réciproquement, si \(A=X {Y}^{\mathrm{T}}\) avec \(X={\left(x_1,\dots,x_n\right)}^{\mathrm{T}}\in \mathfrak{M}_{n1}(\mathbb{\mathbb{K} }) ^*\) et \(Y= {\left(y_1,\dots,y_n\right)}^{\mathrm{T}}\in \mathfrak{M}_{n1}(\mathbb{\mathbb{K} }) ^*\) alors \[A=\begin{pmatrix} x_1 y_1&\dots&x_1 y_n\\ \vdots & &\vdots\\ x_n y_1& \dots&x_n y_n \end{pmatrix}.\] Toutes les colonnes de \(A\) sont colinéaires donc \(\mathop{\mathrm{rg}}\left(A\right)=\mathop{\mathrm{rg}} \begin{pmatrix} x_1 &0&\dots&0\\ \vdots&\vdots & &\vdots\\ x_n &0& \dots&0 \end{pmatrix}=1\) car \(X\) est non nul.


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