Soit \(E=\mathbb{R}^{2}\). Déterminer tous les endomorphismes \(u \in L(E)\) tels que : \[\operatorname{Ker}(u)=\mathop{\mathrm{Vect}}(1,2), \textrm{ et } \mathop{\mathrm{Im}}u=\mathop{\mathrm{Vect}}(1,1)\]


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[ID: 1730] [Date de publication: 1 avril 2021 11:54] [Catégorie(s): Changement de base ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 613
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:54

Posons \(f_1=(1,2)\) et \(f_2=\left(0,1\right)\). Comme \(f_1\) et \(f_2\) ne sont pas colinéaires, \(u\left(f_2\right)\) est non nul et élément de \(\mathop{\mathrm{Im}}u\). Il existe donc \(\alpha\neq 0\) tel que \(u\left(f_2\right)=\left(\alpha,\alpha\right) \alpha e_1 + \alpha e_2 = \alpha f_1 - \alpha f_2 =\). On vérifie facilement que \(f=\left(f_1,f_2\right)\) forme une base de \(\mathbb{R}^2\). Il est clair que \(\textrm{ Mat}_{f}\left(u\right)= \begin{pmatrix} 0&\alpha\\ 0&-\alpha \end{pmatrix}\). De plus, \(P_{e\rightarrow f}=\begin{pmatrix} 1&0\\2&1 \end{pmatrix}\) et \(P_{f\rightarrow e}=P_{e\rightarrow f}^{-1}=\begin{pmatrix} 1&0\\-2&1 \end{pmatrix}\). On en déduit que \(\textrm{ Mat}_{e}\left(u\right)=P_{e\rightarrow f} \textrm{ Mat}_{f}\left(u\right) P_{f\rightarrow e}=\begin{pmatrix} -2\alpha&\alpha\\-2\alpha&\alpha \end{pmatrix}\). On en déduit que \(u\left(x,y\right)=\alpha\left(-2x+y,-2x+y\right)\). Réciproquement, on vérifie facilement que tous les endomorphismes de cette forme satisfont l’hypothèse.


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