On considère le \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel  \(E=\mathbb{R}^3\) muni de sa base canonique \(e=\left(e_1,e_2,e_3\right)\). Soit \(u\) l’endomorphisme de \(E\) représenté dans la base \(e\) par la matrice \(A=\left( \begin {array}{ccc} 0&-2&1\\-3&-1&3 \\-2&-2&3\end {array} \right)\). Le but de cet exercice est de trouver une base \(\varepsilon\) de \(E\) tel que dans cette base la matrice de \(u\) est diagonale. On dira alors qu’on a diagonalisé \(u\).

  1. Développer le polynôme \(P\left(\lambda\right)=\mathop{\rm det}\left(A-\lambda I_3\right)\). \(P\) est appelé polynôme caractéristique de \(u\).

  2. Calculer les racines de \(P\). Les trois réels trouvés sont appelées valeurs propres de \(u\).

  3. Déterminer des vecteurs \(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3\) de \(E\) en sorte que \(\left(\varepsilon_1\right)\) forme une base de \({\rm Ker}\,\left(u-id\right)\), \(\left(\varepsilon_2\right)\) forme une base de \(\operatorname{Ker}\left(u-2id\right)\) et \(\left(\varepsilon_3\right)\) forme une base de \(\operatorname{Ker} \left(u+id\right)\). Ces trois vecteurs sont des vecteurs propres de \(u\).

  4. Montrer que \(\varepsilon=\left(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3\right)\) est une base de \(E\).

  5. Vérifier que la matrice de \(u\) dans la base \(\varepsilon\) est diagonale.


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[ID: 1728] [Date de publication: 1 avril 2021 11:53] [Catégorie(s): Changement de base ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Votre première diagonalisation
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:54
  1. On a : \(P\left(\lambda\right)=\mathop{\rm det}\left(A-\lambda I_3\right)=\left\vert \begin {array}{ccc} -\lambda&-2&1\\-3&-1- \lambda&3\\-2&-2&3-\lambda\end {array} \right\vert\). En effectuant les opérations élémentaires \(C_1 \leftarrow C_1 + C_3\) puis \(L_3 \leftarrow L_3 - L_1\), on a \(P\left(\lambda\right)=\left\vert \begin {array}{ccc} -\lambda+1&-2&1\\0&-1- \lambda&3\\0&0&2-\lambda\end {array} \right\vert = \left(-\lambda+1\right)\left(-1-\lambda\right)\left(2-\lambda\right)\).

  2. Les valeurs propres de \(u\) sont \(1\), \(-1\) et \(2\).

  3. Soit \(\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3\). Posons \(X=\left( \begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\). On a : \(u\left(x\right)-x=0\) si et seulement si \(AX-X=0\) qui est équivalent au système \(\begin{cases}-2\,y+z-x=0\\-3\,x-2\,y+3\,z=0\\-2\,x-2\,y+2\,z=0 \end{cases}\) On vérifie que l’ensemble des solution de ce système est donné par \(Vect\left(\varepsilon_1\right)\) avec \(\varepsilon_1=\left(1,0,1\right)\). Donc \({\rm Ker}\,\left(u-id\right)=Vect\left(\varepsilon_1\right)\) On montre de même que \({\rm Ker}\,\left(u-2id\right)=Vect\left(\varepsilon_2\right)\) avec \(\varepsilon_2=\left(-1,1,0\right)\) et que \({\rm Ker}\,\left(u+id\right)=Vect\left(\varepsilon_3\right)\) avec \(\varepsilon_3=\left(1,1,1\right)\).

  4. Comme \(P = \mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(\varepsilon\right)=\left( \begin {array}{ccc} 1&-1&1\\0&1&1 \\1&0&1\end {array} \right)\) et que \(\mathop{\rm det}\left(P\right)=_1\), la famille \(\varepsilon\) est de rang \(3\) et forme une base de \(E\).

  5. Par la formule de changement de base, \(\mathop{\mathrm{Mat}}_\varepsilon\left(u\right)=P_{\varepsilon\rightarrow e} \mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(u\right) P_{e\rightarrow \varepsilon}\) avec \(P_{\varepsilon\rightarrow e}=\left(\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(\varepsilon\right)\right)^{-1}=\left( \begin {array}{ccc} -1&-1&2\\-1&0&1 \\1&1&-1\end {array} \right)\) et donc :
    \(\mathop{\mathrm{Mat}}_\varepsilon\left(u\right)=\left( \begin {array}{ccc} 1&0&0\\0&-1&0 \\0&0&2\end {array} \right)\). Mais il est bien mieux d’utiliser que \(u(\varepsilon_1)=\varepsilon_1\), \(u\left(\varepsilon_2\right)=-\varepsilon_2\) , \(u\left(\varepsilon_3\right)=2\varepsilon_3\) et d’en déduire direcement la matrice.


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