Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel  muni d’une base \(e=\left(e_1,e_2,e_3\right)\). On considère \(u\in\mathfrak{L}\left(E\right)\) représenté dans la base \(e\) par la matrice \(A= \left( \begin {array}{ccc} 1&0&0\\1&2&0 \\-1&0&2\end {array} \right)\).

  1. Montrer que la famille \(\varepsilon=\left(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3\right)\) avec \(\varepsilon_1=-e_1+e_2-e_3\), \(\varepsilon_2=e_2\) et \(\varepsilon_3=e_2+e_3\) est une base de \(E\). Écrire la matrice de passage de la base \(e\) à la base \(\varepsilon\).

  2. Calculer la matrice de \(u\) dans la base \(\varepsilon\).

  3. En déduire la matrice de \(u^n\) dans la base \(e\).


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[ID: 1726] [Date de publication: 1 avril 2021 11:53] [Catégorie(s): Changement de base ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 15
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:53
  1. Comme \(\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(\varepsilon\right)=\left( \begin {array}{ccc} -1&0&0\\1&1&1 \\-1&0&1\end {array} \right)\) et que \(\mathop{\rm det}\left(\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(\varepsilon\right)\right)=1\), la famille \(\varepsilon\) est de rang \(3\) et forme donc une base de \(E\). De plus \(P_{e\rightarrow \varepsilon}=\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(\varepsilon\right)\).

  2. Appliquant les formules de changement de bases : \(\mathop{\mathrm{Mat}}_\varepsilon\left(u\right)=P_{\varepsilon\rightarrow e} \mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(u\right)P_{e\rightarrow \varepsilon}\) avec \(P_{\varepsilon\rightarrow e}=\left(P_{e\rightarrow \varepsilon}\right)^{-1}=\left( \begin {array}{ccc} -1&0&0\\2&1&-1 \\-1&0&1\end {array} \right)\) et \(\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(u\right)=A\). On en déduit que \(\mathop{\mathrm{Mat}}_\varepsilon\left(u\right)=\left( \begin {array}{ccc} 1&0&0\\0&2&0 \\0&0&2\end {array} \right)\).

  3. Notons \(P=P_{e\rightarrow \varepsilon}\) et \(A_0=\mathop{\mathrm{Mat}}_\varepsilon\left(u\right)\). On a donc : \(\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(u^n\right)=A^n=\left(PA_0P^{-1}\right)^n=PA_0^nP^{-1}=\left( \begin {array}{ccc} 1&0&0\\-1+{2}^{n}&{2}^{n }&0\\1-{2}^{n}&0&{2}^{n}\end {array} \right)\)


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