Soit \(e=\left(e_1,e_2,e_3\right)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^3\) et soit \(A= \left( \begin {array}{ccc} 2&4&4\\0&4&2 \\0&-4&-2\end {array} \right)\). Notons \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) dont la matrice dans la base \(e\) est \(A\).

  1. Déterminer \(\operatorname{Ker}f\) et \(\mathop{\mathrm{Im}}f\). Démontrer que ces sous-espaces sont supplémentaires dans \(\mathbb{R}^3\).

  2. Déterminer une base à la supplémentarité de \(\mathop{\mathrm{Im}}f\) et de \(\operatorname{Ker}f\) et écrire la matrice de \(f\) dans cette base.

  3. Écrire \(f\) comme composée de transformations vectorielles élémentaires.


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[ID: 1724] [Date de publication: 1 avril 2021 11:53] [Catégorie(s): Changement de base ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 94
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:53
  1. Pour tout \(\left(x,y,z\right)\in\mathbb{R}^3\), on vérifie facilement que \(f\left(x,y,z\right)=\left(2x+4y+4z,4y+2z,-4y-2z\right)\). On en déduit que \(\operatorname{Ker} f=\mathop{\mathrm{Vect}}\left(\varepsilon_1\right)\)\(\varepsilon_1=\left(2,1,-2\right)\)et que \(\mathop{\mathrm{Im}} f=Vect\left(\varepsilon_2,\varepsilon_3\right)\)\(\varepsilon_2=\left(1,0,0\right)\) et \(\varepsilon_3=\left(0,1,-1\right)\). On vérifie facilement que la famille \(\varepsilon=\left(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3\right)\) est une base de \(E\). Comme \(\left(\varepsilon_1\right)\) est une base de \(\operatorname{Ker}f\) et que \(\left(\varepsilon_2,\varepsilon_3\right)\) est une base de \(\mathop{\mathrm{Im}}f\), on sait que \(\mathop{\mathrm{Im}}f\) et \(\operatorname{Ker}f\) sont supplémentaires dans \(E\).

  2. La famille \(\varepsilon\) est adaptée à la supplémentarité de \(\mathop{\mathrm{Im}}f\) et de \(\operatorname{Ker}f\). Utilisant la formule de changement de base : \(\mathop{\mathrm{Mat}}_\varepsilon\left(f\right)=P_{\varepsilon\rightarrow e} \mathop{\mathrm{Mat}}_e \left(f\right) P_{e \rightarrow \varepsilon}\)\(P_{e \rightarrow \varepsilon}=\left( \begin {array}{ccc} 2&1&0\\1&0&1 \\-2&0&-1\end {array} \right)\) et où \(P_{\varepsilon\rightarrow e}={P_{e \rightarrow \varepsilon}}^{-1}=\left( \begin {array}{ccc} 0&-1&-1\\1&2&2\\0&2&1\end {array} \right)\), on obtient \[\mathop{\mathrm{Mat}}_\varepsilon\left(f\right)= \left( \begin {array}{ccc} 0&-1&-1\\1&2&2\\0&2&1\end {array} \right) \times \left( \begin {array}{ccc} 2&4&4\\0&4&2 \\0&-4&-2\end {array} \right) \times \left( \begin {array}{ccc} 2&1&0\\1&0&1 \\-2&0&-1\end {array} \right) = \left( \begin {array}{ccc} 0&0&0\\0&2&0 \\0&0&2\end {array} \right)\]

  3. \(f\) est alors la composée de l’homothétie vectorielle de rapport \(2\) et de la projection de \(\mathbb{R}^3\) sur le plan \(\mathop{\mathrm{Im}}f\) parallèlement au plan \(\operatorname{Ker}f\).


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