Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel muni d’une base \(e=\left(e_1,e_2,e_3\right)\). On considère \(f\) l’endomorphisme de \(E\) dont la matrice dans la base \(e\) est \(A=\left( \begin {array}{ccc} 3&-2&-4\\1&0&-2 \\1&-1&-1\end {array} \right)\)

  1. Calculer \(A^2\). Que peut-on en déduire au sujet de \(f\)?

  2. Déterminer une base de \(\mathop{\mathrm{Im}}f\) et de \(\operatorname{Ker}f\).

  3. Prouver de deux façons différentes que \(\mathop{\mathrm{Im}}f\) et \(\operatorname{Ker}f\) sont supplémentaires dans \(E\).

  4. Quelle est la matrice de \(f\) relativement à une base adaptée à la supplémentarité de \(\mathop{\mathrm{Im}}f\) et de \(\operatorname{Ker}f\).


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[ID: 1722] [Date de publication: 1 avril 2021 11:53] [Catégorie(s): Changement de base ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 793
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:53
  1. On vérifie facilement que \(A^2=A\). On a alors \(f^2=f\) et \(f\) est donc un projecteur de \(E\).

  2. Soit \(X=\left( \begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)\). On a : \(AX=0\) si et seulement si \(\begin{cases}3x-2y-4z&=0 \\x-2z&=0\\x-y-z&=0 \end{cases}\) c’est-à-dire si et seulement si \(X\in\mathop{\mathrm{Vect}}{\left( \begin{array}{c}2\\1 \\1\end{array}\right)}\). On en déduit que \({\rm Ker}\,f=Vect\left(\varepsilon_1\right)\)\(\varepsilon_1=2e_1+e_2+e_3\). Par ailleurs, posons \(\varepsilon_2=f\left(e_1\right)\) et \(\varepsilon_3=f\left(e_2\right)\). On vérifie, par un calcul matriciel facile que \(\varepsilon_2=3e_1+e_2+e_3\) et que \(\varepsilon_3=-2e_1+e_3\). Les vecteurs \(\varepsilon_2\) et \(\varepsilon_3\) sont dans \(\mathop{\mathrm{Im}}f\) et sont non colinéaires. Ils forment donc une famille libre. En appliquant la formule du rang, on montre que \(\dim \mathop{\mathrm{Im}}f=2\). Il s’ensuit que cette famille est une base de \(\mathop{\mathrm{Im}}f\).

  3. Comme \(f\) est un projecteur, \(\mathop{\mathrm{Im}}f\) et \(\operatorname{Ker}f\) sont nécessairement supplémentaires dans \(E\).

  4. Utilisant la question précédente, la famille \(\varepsilon\) est adaptée à la supplémentarité de \(\mathop{\mathrm{Im}}f\) et de \(\operatorname{Ker}f\). On obtient facilement : \(\mathop{\mathrm{Mat}}_\varepsilon\left(f\right)= \left( \begin {array}{ccc} 0&0&0\\0&1&0 \\0&0&1\end {array} \right)\).


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