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Exercice 858
Soient \(A=\left( \begin {array}{ccc} 2&1&-2\\0&1&0 \\4&1&-4\end {array} \right)\) et \(e=\left(e_1,e_2,e_3\right)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^3\). Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) représenté par \(A\) dans la base \(e\). On pose \(\varepsilon_1=\left(1,0,1\right), \quad \varepsilon_2=\left(0,1,0\right),\quad \varepsilon_3=\left(1,0,2\right) \quad \textrm{ et} \quad \varepsilon=\left(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3\right)\).
Montrer que \(\varepsilon\) est une base de \(\mathbb{R}^3\).
Écrire la matrice de \(f\) dans cette base.
Déterminer une base de \(\operatorname{Ker}f\) et de \(\mathop{\mathrm{Im}}f\).
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[ID: 1720] [Date de publication: 1 avril 2021 11:53] [Catégorie(s): Changement de base ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]Solution(s)
Solution(s)
Exercice 858
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 1 avril 2021 11:53
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 1 avril 2021 11:53
On vérifie que \(\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(\varepsilon\right)=\begin{pmatrix} 1&0&1\\0&1&0\\1&0&2 \end{pmatrix}\) est inversible donc \(\varepsilon\) est une base de \(\mathbb{R}^3\).
D’après la formule de changement de base \(\mathop{\mathrm{Mat}}_\varepsilon\left(f\right)=P_{\varepsilon\rightarrow e} \mathop{\mathrm{Mat}}_e \left(f\right) P_{e\rightarrow \varepsilon}\) avec \(P_{e\rightarrow \varepsilon}=\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(\varepsilon\right)\) et \(P_{{\varepsilon\rightarrow e}}=\left(P_{e\rightarrow \varepsilon}\right)^{-1}=\begin{pmatrix} 2&0&-1\\0&1&0\\-1&0&1 \end{pmatrix}\). Il vient \(\mathop{\mathrm{Mat}}_\varepsilon\left(f\right)=\begin{pmatrix} 0&1&0\\0&1&0\\0&0&-2 \end{pmatrix}\).
Les deux derniers vecteurs colonnes de \(\mathop{\mathrm{Mat}}_\varepsilon\left(f\right)\) sont non colinéaires et le premier est nul donc \(\mathop{\mathrm{rg}}f=2\) et \(\dim \mathop{\mathrm{Im}}f=2\). Les vecteurs \(f\left(\varepsilon_2\right)=\left(1,1,0\right)\) et \(f\left(\varepsilon_3\right)=\left(0,0,-2\right)\) sont non colinéaires et dans l’image de \(f\). Il forment donc une base de \(\mathop{\mathrm{Im}}f\). La formule du rang permet d’affirmer que \(\dim \operatorname{Ker}f=1\). Comme \(f\left(\varepsilon_1\right)=0\), une base de \(\operatorname{Ker}f\) est \(\left(\varepsilon_1\right)\).
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