Soit \(E=\mathbb{R}^3\), \(\varepsilon_1=\left(0,0,1\right)\), \(\varepsilon_2=\left(1,1,1\right)\) et \(\varepsilon_3=\left(0,1,1\right)\). On pose : \(F=Vect\left(\varepsilon_1,\varepsilon_2\right)\) et \(G=Vect\left(\varepsilon_3\right)\).

  1. Prouver que \(\varepsilon=\left(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3\right)\) est une base de \(E\) et en déduire que \(E=F\oplus G\).

  2. Déterminer la matrice dans la base canonique \(e\) de \(E\) de la projection \(p\) sur \(F\) parallèlement à \(G\).

  3. En déduire, dans la base canonique de \(E\), la matrice de la symétrie \(s\) par rapport à \(F\) parallèlement à \(G\) et la matrice de la projection \(p'\) sur \(G\) parallèlement à \(F\).


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[ID: 1718] [Date de publication: 1 avril 2021 11:53] [Catégorie(s): Changement de base ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 585
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:53
  1. Comme la matrice \(\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(\varepsilon\right)=\begin{pmatrix} 0&1&0\\0&1&1\\1&1&1 \end{pmatrix}\) est inversible, la famille \(\varepsilon\) est une base de \(\mathbb{R}^3\). Comme \(\left(\varepsilon_1,\varepsilon_2\right)\) est une base de \(F\) et que \(\left(\varepsilon_3\right)\) est une base de \(G\), on en déduit que \(E=F\oplus G\).

  2. On sait que \(\mathop{\mathrm{Mat}}_\varepsilon\left(p\right)=\left( \begin {array}{ccc} 1&0&0\\0&1&0 \\0&0&0\end {array} \right)\) donc grâce aux formules de changement de base \(\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(p\right)=P_{e\rightarrow \varepsilon} \mathop{\mathrm{Mat}}_\varepsilon\left(p\right) P_{\varepsilon\rightarrow e}\) avec \(P_{e\rightarrow \varepsilon}=\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(\varepsilon\right)\) et \(P_{{\varepsilon\rightarrow e}}=\left(P_{e\rightarrow \varepsilon}\right)^{-1}=\begin{pmatrix} 0&-1&1\\1&0&0\\-1&1&0 \end{pmatrix}\). On effectue les calculs et on trouve \(\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(p\right)=\begin{pmatrix} 1&0&0\\1&0&0\\1&-1&1 \end{pmatrix}\)

  3. On sait que \(s=2p-\mathop{\mathrm{id}}\nolimits_E\) et que \(p+p'=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits_E\) donc \(\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(s\right)=\begin{pmatrix} 1&0&0\\2&-1&0\\2&-2&1 \end{pmatrix}\) et \(\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(p'\right)=\begin{pmatrix} 0&0&0\\-1&1&0\\-1&1&0 \end{pmatrix}\).


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