Dans le \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel  \(E=\mathbb{R}^3\) muni de sa base canonique \(e\), on considère la famille de vecteurs \(\varepsilon=\left(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3\right)\) donnés par \(\varepsilon_1=\left(1,0,2\right)\), \(\varepsilon_2=\left(0,1,1\right)\), \(\varepsilon_3=\left(1,0,1\right)\). Posons \(F=Vect\left(\varepsilon_1,\varepsilon_2\right)\) et \(G=Vect\left(\varepsilon_3\right)\).

  1. Montrer que \(F\) et \(G\) sont supplémentaires dans \(E\). Donner une base de \(E\) adaptée à la supplémentarité de ces deux sous-espaces vectoriels.

  2. Écrire, dans la base \(e\), la matrice de la projection \(p\) de \(E\) sur \(F\) parallèlement à \(G\).

  3. En déduire les matrices, dans la base \(e\) de :

    1. la projection \(p'\) de \(E\) sur \(G\) parallèlement à \(F\).

    2. la symétrie \(s\) par rapport à \(F\) parallèlement à \(G\).

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[ID: 1716] [Date de publication: 1 avril 2021 11:53] [Catégorie(s): Changement de base ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 681
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 1 avril 2021 11:53

  1. On a \(\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(\varepsilon\right)=\left( \begin {array}{ccc} 1&0&1\\0&1&0 \\2&1&1\end {array} \right)\) et \(\mathop{\rm det}A=-1\). La famille \(\varepsilon\) est donc une base de \(E\). On en déduit que \(\left(\varepsilon_1,\varepsilon_2\right)\) forme une base de \(F\) et que \(\left(\varepsilon_3\right)\) forme une base de \(G\). Ces deux sous-espaces sont de plus clairement supplémentaires et la base \(\varepsilon\) est adaptée à cette supplémentarité.

  2. On a : \(\mathop{\mathrm{Mat}}_\varepsilon\left(p\right)=\left( \begin {array}{ccc} 1&0&0\\0&1&0 \\0&0&0\end {array} \right)\) et, en utilisant les formules de changement de base \(\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(p\right)=P_{e\rightarrow \varepsilon} \mathop{\mathrm{Mat}}_\varepsilon\left(p\right) P_{\varepsilon\rightarrow e}\) avec \(P_{e\rightarrow \varepsilon}=\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(\varepsilon\right)\) et \(P_{{\varepsilon\rightarrow e}}=\left(P_{e\rightarrow \varepsilon}\right)^{-1}\). Après calculs, on trouve \(\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(p\right)=\left( \begin {array}{ccc} -1&-1&1\\0&1&0 \\-2&-1&2\end {array} \right)\)

    1. On sait que \(p+p'=\mathop{\mathrm{id}}\nolimits_E\). Donc \(\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(p'\right)=I_3-\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(p\right)=\left( \begin {array}{ccc} 2&1&-1\\0&0&0 \\2&1&-1\end {array} \right)\)

    2. On sait aussi que \(s=2p-\mathop{\mathrm{id}}\nolimits_E\). Donc \(\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(s\right)=2\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(p\right)-I_3=\left( \begin {array}{ccc} -3&-2&2\\0&1&0 \\-4&-2&3\end {array} \right)\).

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Exercice 681
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