On considère \(E=\mathbb{R}^3\) et \(F=\mathbb{R}^2\) tous deux munis de leurs bases canoniques respectives qu’on notera \(e=\left(e_1,e_2,e_3\right)\) et \(f=\left(f_1,f_2\right)\). Soit \(u: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^3 & \longrightarrow & \mathbb{R}^2 \\ \left(x,y,z\right) & \longmapsto & \left(x+y,y-z\right) \end{array} \right.\).

  1. Prouver que \(u\in\mathcal L\left(E,F\right)\) et écrire la matrice de \(u\) relativement aux bases \(e\) et \(f\).

  2. On considère les familles de vecteurs \(e'=\left(e'_1,e'_2,e'_3\right)\) avec \(e'_1=\left(0,1,-1\right)\), \(e'_2=\left(1,0,2\right)\),\(e'_3=\left(1,1,0\right)\) et \(f'=\left(f_1',f_2'\right)\) avec \(f_1'=\left(1,0\right)\), \(f_2'=\left(1,1\right)\). Montrer que \(e'\) et \(f'\) sont des bases de respectivement \(E\) et \(F\) et écrire les matrices de changement de base de \(e\) vers \(e'\) et de \(f\) vers \(f'\).

  3. En déduire la matrice de \(u\) relativement aux bases \(e'\) et \(f'\).


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[ID: 1714] [Date de publication: 1 avril 2021 11:53] [Catégorie(s): Changement de base ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 741
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:53
  1. On vérifie facilement que \(u\) est linéaire. De plus \(\mathop{\mathrm{Mat}}_{f\leftarrow e}\left(u\right)= \left( \begin {array}{ccc} 1&1&0\\0&1&-1 \end {array} \right)\).

  2. On écrit \(\mathop{\mathrm{Mat}}_e{e'}=\left( \begin {array}{ccc} 0&1&1\\1&0&1 \\-1&2&0\end {array} \right)\) et comme \(\mathop{\rm det}\left(\mathop{\mathrm{Mat}}_e{e'}\right)=1\) on en déduit que \(e'\) est une base de \(E\). De même \(\mathop{\mathrm{Mat}}_{f}\left(f'\right)=\left( \begin {array}{cc} 1&1\\0&1\end {array} \right)\) et \(\mathop{\rm det}\left(\mathop{\mathrm{Mat}}_{f}\left(f'\right)\right)=1\). La famille \(f'\) est donc une base de \(F\). De plus \(P_{e\rightarrow e'}=\mathop{\mathrm{Mat}}_e{e'}\) et \(P_{f\rightarrow f'}=\mathop{\mathrm{Mat}}_{f}{f'}\).

  3. La formule de changement de bases est \(\mathop{\mathrm{Mat}}_{f'\leftarrow e'}\left(u\right)=P_{f'\rightarrow f} \mathop{\mathrm{Mat}}_{f\leftarrow e}\left(u\right)P_{e\rightarrow e'}\) et comme \(P_{f'\rightarrow f} = \left(P_{f\rightarrow f'}\right)^{-1}=\left( \begin {array}{cc} 1&-1\\0&1\end {array} \right)\) on a \(\mathop{\mathrm{Mat}}_{f'\leftarrow e'}\left(u\right)=\left( \begin {array}{ccc} -1&3&1\\2&-2&1 \end {array} \right)\).


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