Soient : \[P_1=X^2+1, \quad P_2=X +1\quad \textrm{ et} \quad P_3=2X^2-X\] On note \(\mathscr B=\left(1,X,X^2\right)\) la base canonique de \(\mathbb{R}_2\left[X\right]\).

  1. Montrer que \(\mathscr B'=\left(P_1,P_2,P_3\right)\) forme une base de \(\mathbb{R}_2\left[X\right]\).

  2. Écrire la matrice de passage de \(\mathscr B\) à \(\mathscr B'\), puis celle de \(\mathscr B'\) à \(\mathscr B\).

  3. Soit \(P\left(X\right)=X^2-X+2\). Donner les composantes de \(P\) dans la base \(\mathscr B'\).

  4. On considère l’endomorphisme de \(\mathbb{R}_2\left[X\right]\) donné par \(\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_2\left[X\right] & \longrightarrow & \mathbb{R}_2\left[X\right] \\ P & \longmapsto & XP' \end{array} \right.\). Déterminer la matrice de \(\theta\) dans la base \(\mathscr B'\).


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[ID: 1712] [Date de publication: 1 avril 2021 11:53] [Catégorie(s): Changement de base ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 1039
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:53
  1. On a \(\mathop{\mathrm{Mat}}_{\mathscr B}\left(\mathscr B'\right)= \left( \begin {array}{ccc} 1&1&0\\0&1&-1 \\1&0&2\end {array} \right)\) et \(\mathop{\rm det}\mathop{\mathrm{Mat}}_{\mathscr B}\left(\mathscr B'\right)=1\) donc la famille \(\mathscr B'\) est libre. Cette famille est de plus de cardinal égal à la dimension de \(\mathbb{R}_2\left[X\right]\) ce qui prouve que c’est une base de \(\mathbb{R}_2\left[X\right]\).

  2. On a \(P_{\mathscr B \rightarrow \mathscr B'}=\mathop{\mathrm{Mat}}_{\mathscr B}\left(\mathscr B'\right)\) et \(P_{\mathscr B' \rightarrow \mathscr B}=\left(P_{\mathscr B \rightarrow \mathscr B'}\right)^{-1}=\left( \begin {array}{ccc} 2&-2&-1\\-1&2&1 \\-1&1&1\end {array} \right)\)

  3. On a \(\mathop{\mathrm{Mat}}_{\mathscr B'}\left(P\right) = P_{\mathscr B' \rightarrow \mathscr B} \mathop{\mathrm{Mat}}_{\mathscr B}\left(P\right)= \left( \begin {array}{ccc} 2&-2&-1\\-1&2&1 \\-1&1&1\end {array} \right) \times \left( \begin {array}{c} 2\\-1\\1 \end {array} \right) =\left( \begin {array}{c} 5\\-3\\-2 \end {array} \right)\).

  4. On a \(\mathop{\mathrm{Mat}}_{\mathscr B}\left(\theta\right)=\left( \begin {array}{ccc} 0&0&0\\0&1&0 \\0&0&2\end {array} \right)\) et \(\mathop{\mathrm{Mat}}_{\mathscr B'}\left(\theta\right)=P_{\mathscr B' \rightarrow \mathscr B} \mathop{\mathrm{Mat}}_{\mathscr B}\left(\theta\right)P_{\mathscr B \rightarrow \mathscr B'}=\left( \begin{array}{ccc} -2&-2&-2\\2&2&2\\2&1&3\end{array} \right)\)


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