Soit \(\left(e_1,e_2,e_3\right)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^3\). On pose : \[f_1=e_1-e_2+2e_3,\quad f_2=e_2+e_3,\quad f_3=e_1+2e_3\]

  1. Prouver que \(\left(f_1,f_2,f_3\right)\) forme une base de \(\mathbb{R}^3\).

  2. Écrire la matrice de passage de la base \(e\) à la base \(f\).

  3. Déterminer la matrice de passage de la base \(f\) à la base \(e\).

  4. On considère le vecteur \(u\) de coordonnées \(\left(-1,0,2\right)\) dans la base canonique. Quelles sont ses coordonnées dans la base \(f\)?

  5. On considère l’endomorphisme \(\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^3 & \longrightarrow & \mathbb{R}^3 \\ \left(x,y,z\right) & \longmapsto & \left(x+y-2z,-x-z,-x+2y\right) \end{array} \right.\). Déterminer la matrice de \(\theta\) dans la base \(f\).


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[ID: 1710] [Date de publication: 1 avril 2021 11:53] [Catégorie(s): Changement de base ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 130
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:53
  1. On a : \(\mathop{\mathrm{Mat}}_{e}\left(f\right)=\left( \begin {array}{ccc} 1&0&1\\-1&1&0 \\2&1&2\end {array} \right)\). Le déterminant de cette matrice est \(-1\). On en déduit que la famille \(f\) est libre et comme elle est de cardinal égal à la dimension de \(\mathbb{R}^3\), que c’est une base de \(\mathbb{R}^3\).

  2. Par définition : \(P_{e\rightarrow f}=\mathop{\mathrm{Mat}}_{e}\left(f\right)\).

  3. De même \(P_{f\rightarrow e}=\left(P_{e\rightarrow f}\right)^{-1}=\left( \begin {array}{ccc} -2&-1&1\\-2&0&1 \\3&1&-1\end {array} \right)\)

  4. D’après la formule de changement de base \(\mathop{\mathrm{Mat}}_f{u}=P_{f\rightarrow e} \mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(u\right)=\left( \begin {array}{c} 4\\4\\-5 \end {array} \right)\).

  5. On a : \(\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(\theta\right)=\left( \begin {array}{ccc} 1&1&-2\\-1&0&-1 \\-1&2&0\end {array} \right)\). En utilisant la formule de changement de base \(\mathop{\mathrm{Mat}}_f\left(\theta\right)=P_{f\rightarrow e}\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(\theta\right)P_{e\rightarrow f}\), on trouve \(\mathop{\mathrm{Mat}}_f\left(\theta\right)=\left( \begin {array}{ccc} 8&5&8\\5&4&5 \\-12&-6&-11\end {array} \right)\)


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