On considère l’espace vectoriel \(\mathbb{R}^2\) muni de sa base canonique \(e=\left(e_1,e_2\right)\). On considère l’endomorphisme \(f\) de \(\mathbb{R}^2\) donné par : \[f\left(e_1\right)=e_1+e_2 \quad \textrm{ et} \quad f\left(e_2\right)=-e_1+2e_2\]

  1. Déterminer la matrice \(A\) de \(f\) dans la base canonique \(e\).

  2. Soit \(v=xe_1+ye_2\in\mathbb{R}^2\). Calculer les composantes \(x'\) et \(y'\) de \(f\left(v\right)\) dans la base canonique \(e\).

  3. On pose : \(\varepsilon_1=e_2\) et \(\varepsilon_2=e_1+e_2\). Prouver que \(\varepsilon=\left(\varepsilon_1,\varepsilon_2\right)\) est une base de \(E\).

  4. Déterminer \(P_{e\rightarrow \varepsilon}\) ainsi que \(P_{\varepsilon\rightarrow e}\).

  5. En déduire la matrice \(B\) de \(f\) dans la base \(\varepsilon\) et en déduire les expressions de \(f\left(\varepsilon_1\right)\) et \(f\left(\varepsilon_2\right)\) en fonction de \(\varepsilon_1\) et \(\varepsilon_2\).


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[ID: 1708] [Date de publication: 1 avril 2021 11:53] [Catégorie(s): Changement de base ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 471
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:53
  1. \(A= \left( \begin {array}{cc} 1&-1\\1&2\end {array} \right)\)

  2. Par linéarité de \(f\) : \(f\left(v\right)=\left(x-y,x+2y\right)\)

  3. Comme \(\mathop{\mathrm{Mat}}_{e}\left(\varepsilon\right)=\begin{pmatrix} 0&1\\1&1 \end{pmatrix}\) et que cette matrice est inversible, la famille \(\varepsilon\) est une base de \(\mathbb{R}^2\).

  4. Comme \(P_{e\rightarrow \varepsilon}=\mathop{\mathrm{Mat}}_{e}\left(\varepsilon\right)\) alors \(P_{\varepsilon \rightarrow e}=\left(P_{e\rightarrow \varepsilon}\right)^{-1}=\left( \begin {array}{cc} -1&1\\1&0\end {array} \right)\)

  5. La formule de changement de base amène \(B=\mathop{\mathrm{Mat}}_\varepsilon\left(f\right)=P_{\varepsilon\rightarrow e}\mathop{\mathrm{Mat}}_e\left(f\right)P_{e\rightarrow \varepsilon}\). Après calcul, on trouve : \(B= \left( \begin {array}{cc} 3&3\\-1&0\end {array} \right)\). De plus, par lecture de cette matrice, on trouve que \(f(\varepsilon_1)=3\varepsilon_1-\varepsilon_2\) et \(f(\varepsilon_2)=3\varepsilon_1\)


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