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Matrices antisymétriques
Soit \(E = \{\)matrices de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) antisymétriques\(\}\) et \(f : E \rightarrow E, M \mapsto ^tAM+MA\) où \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\).
Montrer que \(f\) est un endomorphisme.
Quelle est la trace de \(f\) ?
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[ID: 4663] [Date de publication: 11 avril 2024 17:53] [Catégorie(s): Structure formée de matrices ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
Matrices antisymétriques
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 17:53
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 17:53
La base canonique de \(E\) est \((F_{ij} = E_{ij}-E_{ji})_{1\leq i<j \leq n}\) où \((E_{ij})\) est la base canonique de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) : Si \(M \in E\), la coordonnée de \(M\) suivant \(F_{ij}\) est le coefficient d’indices \(i,j\) de \(M\). En particulier, en notant \(A = (a_{ij})\), la coordonnée de \(f(F_{ij})\) suivant \(F_{ij}\) est \(a_{ii}+a_{jj}\), donc : \[\mathop{\rm tr}\nolimits f = \sum_{i,j} (a_{ii} + a_{jj}) = (n-1)\mathop{\rm tr}\nolimits A.\]
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