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Idéaux de \(\mathfrak M_n (\mathbb K)\)
Une partie \(\mathcal I \subset \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) est appelée idéal à droite de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) si c’est un sous-groupe additif vérifiant : \[\forall A \in \mathcal I ,\ \forall B \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}}) ,\ AB \in \mathcal I .\]
Pour \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\), on note \(\mathcal H_A\) le sev de \(\mathcal M _{n,1}(\mathbb{K})\) engendré par les colonnes de \(A\), et \(\mathcal I _A\) l’idéal à droite engendré par \(A\) : \(\mathcal I _A = \{ AM \text{ tq }M \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}}) \}\).
Soient \(A,M \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\). Montrer que : \(M \in \mathcal I _A \Leftrightarrow \mathcal H_M \subset \mathcal H_A\).
Soient \(A,B \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\). Montrer qu’il existe \(C \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) telle que \(\mathcal H_A + \mathcal H_B = \mathcal H_C\). Simplifier alors \(\mathcal I _A + \mathcal I _B\).
Soit \(\mathcal I\) un idéal à droite de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\). Montrer que \(\mathcal I\) est un sev de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\), puis qu’il existe \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) telle que \(\mathcal I = \mathcal I _A\).
Que peut-on dire des idéaux à gauche de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) ?
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[ID: 4662] [Date de publication: 11 avril 2024 17:53] [Catégorie(s): Structure formée de matrices ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
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