Lecture zen
**
Groupes de matrices
Soit \(\mathcal G \subset \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) tel que pour la multiplication, \(\mathcal G\) soit un groupe. On note \(J\) l’élément neutre et pour \(M \in \mathcal G\), \(\varphi _M\) l’endomorphisme de \(\mathbb{K}^n\) canoniquement associé à \(M\).
Montrer que \(\varphi _J\) est une projection.
Montrer que : \(\forall M \in \mathcal G\), \(\varphi _{M|\mathop{\rm Ker}\nolimits\varphi _J} = 0\) et \(\varphi _{M|\mathop{\rm Im}\nolimits\varphi _J}\) est un isomorphisme de \(\mathop{\rm Im}\nolimits\varphi _J\).
On note \(k=\mathop{\rm rg}\nolimits(J)\). Montrer que \(\mathcal G\) est isomorphe à un sous-groupe de \(GL_k(\mathbb{K})\).
Barre utilisateur
[ID: 4660] [Date de publication: 11 avril 2024 17:53] [Catégorie(s): Structure formée de matrices ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
Groupes de matrices
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 17:53
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 17:53
\(J^2 = J\).
\(JM = MJ\).
Documents à télécharger
L'exercice