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Matrices magiques
Une matrice carrée \(M\) est dite magique si les sommes des coefficients de \(M\) par ligne et par colonne sont constantes. On note \(s(M)\) leur valeur commune.
Soit \(U = \begin{pmatrix}1 &\dots&1 \\ \vdots & &\vdots \\ 1 &\dots&1 \\\end{pmatrix}\) et \(\mathcal M = \{\)matrices \(n\times n\) magiques\(\}\).
Montrer que \(\mathcal M\) est une sous-algèbre de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) et \(s:\mathcal M \to \mathbb{K}\) est un morphisme d’algèbre (calculer \(MU\) et \(UM\)).
Si \(M\) est magique inversible, montrer que \(M^{-1}\) est aussi magique.
Montrer que si \(\mathop{\rm car}\nolimits(\mathbb{K})\neq 2\), \(\mathcal M\) est la somme directe du sev des matrices magiques symétriques et du sev des matrices magiques antisymétriques.
Pour \(M \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\), on note \(\varphi _M\) l’endomorphisme de \(\mathbb{K}^n\) canoniquement associé à \(M\).
Soit \(\mathcal H = \{ (x_{1},\dots,x_n) \in \mathbb{K}^n \text{ tq }x_{1} +\dots+ x_n = 0\}\) et \(\mathcal K = \{ (x,\dots,x) \in \mathbb{K}^n \}\).
Montrer que : \(M \in \mathcal M \Leftrightarrow \mathcal H\) et \(\mathcal K\) sont stables par \(\varphi _M\).
En déduire dim(\(\mathcal M\)).
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[ID: 4658] [Date de publication: 11 avril 2024 17:53] [Catégorie(s): Structure formée de matrices ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
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