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Commutant d’une matrice diagonale
Soit \(A \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) et \(\mathcal C _A = \{ M \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}}) \text{ tq }AM = MA\}\) (commutant de \(A\)).
Montrer que \(\mathcal C _A\) est une sous-algèbre de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\).
Soit \(A = \mathop{\rm diag}\nolimits(\lambda _{1}, \lambda _{2},\dots, \lambda _n)\) une matrice diagonale dont tous les \(\lambda _i\) sont distincts.
Chercher \(\mathcal C _A\).
On suppose \(\mathop{\rm card}\nolimits(\mathbb{K})\geq n\). Soit \(\varphi : \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}}) \rightarrow \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}}) , M \mapsto MA-AM.\) Montrer que \(\mathop{\rm Im}\nolimits\varphi\) est l’ensemble des matrices à diagonale nulle.
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[ID: 4657] [Date de publication: 11 avril 2024 17:53] [Catégorie(s): Structure formée de matrices ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
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