On note \(\mathcal G = \{ A = (a_{ij}) \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\) tq \(a_{ij} = 0\) si \(i>j\) et \(a_{ii} = 1\}\).

  1. Montrer que \(\mathcal G\) est un sous-groupe de \(GL_n(\mathbb{K})\).

  2. En utilisant la base canonique de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K}})\), déterminer le centre de \(\mathcal G\) et montrer que c’est un groupe commutatif isomorphe à \((\mathbb{K},+)\).

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[ID: 4655] [Date de publication: 11 avril 2024 17:53] [Catégorie(s): Structure formée de matrices ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Centre des matrices triangulaires unipotentes
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 17:53

  1. Pour \(i<j\), on doit avoir \(M(I+E_{ij}) = (I+E_{ij})M\) donc \(a_{ki} = 0\) si \(k \neq i\) et \(a_{jk} = 0\) si \(k \neq j\). On obtient \(M = \begin{pmatrix}1 &0 &\dots&0 &* \\ &\ddots &\ddots & &0 \\ & &\ddots &\ddots &\vdots \\ &0 & &\ddots &0 \\ & & & &1 \\\end{pmatrix}\).

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