Lecture zen
**
Algèbre de matrices
On note \(U = \begin{pmatrix}1 &\dots&1 \\ \vdots & &\vdots \\ 1 &\dots&1\end{pmatrix} \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\) et \(\mathcal A = \{ aU + bI \text{ tq }a,b \in \mathbb{R}\}\) pour \(n \geq 2\).
Montrer que \(\mathcal A\) est une sous algèbre commutative de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\).
Soit \(M = aU+bI \in \mathcal A\). Montrer que \(M\) possède un inverse dans \(\mathcal A\) si et seulement si \(b(b+na) \neq 0\), et le cas échéant, donner \(M^{-1}\).
Montrer que si \(b(b+na) = 0\), alors \(M\) n’est pas inversible dans \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{R}})\).
Trouver les matrices \(M \in \mathcal A\) vérifiant : \(M^n = I\).
Barre utilisateur
[ID: 4651] [Date de publication: 11 avril 2024 17:53] [Catégorie(s): Structure formée de matrices ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
Algèbre de matrices
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 17:53
Par Michel Quercia le 11 avril 2024 17:53
\(M^{-1} = \dfrac {-a}{b(na+b)}U + \dfrac 1bI\).
\(M^n = \dfrac {(na+b)^n -b^n }nU + b^n I\). Si \(n\) est pair, \(M^n =I \Leftrightarrow M=I\) ou \(M=\pm (I-\frac2nU)\). Si \(n\) est impair, \(M^n =I \Leftrightarrow M=I\).
Documents à télécharger
L'exercice