Soit une sous-algèbre \(\mathcal{A}\) de l’algèbre \(L(E)\). On suppose que \(\forall f \in L(E)\), \(f^2 \in \mathcal{A} \Rightarrow f \in \mathcal{A}\). Montrer que \(\mathcal{A} = L(E)\).


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[ID: 1706] [Date de publication: 1 avril 2021 11:48] [Catégorie(s): Structure formée de matrices ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 773
Par emmanuel le 1 avril 2021 11:48

Raisonnons de façon équivalente sur les matrices carrées. Supposons que \(\mathcal{A}\) soit une sous-algèbre de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} })\) vérifiant \(\forall M \in \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} })\), \(M^2 \in \mathcal{A} \Rightarrow M \in \mathcal{A}\). Il suffit de montrer que toute matrice \(E_{ij}\) de la base canonique appartient à \(\mathcal{A}\). Comme \(\mathcal{A}\) est une sous-algèbre de \(L(E)\), \(0_{L(E)} \in \mathcal{A}\). Or si \((i, j) \in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]^2\), \(E_{ij}^2 = E_{ij}E_{ij} = \delta_{ij} E_{ij}\). Par conséquent, si \(i \neq j\), \(E_{ij}^2 \in \mathcal{A}\) et donc \(E_{ij} \in \mathcal{A}\). Soit maintenant \(i \in [\kern-0.127em[ 1, n ]\kern-0.127em]\). Soit \(j \neq i\). On sait que \(E_{ij}, E_{ji} \in \mathcal{A}\) et comme \(\mathcal{A}\) est une sous-algèbre de \(L(E)\), le produit \(E_{ij}E_{ji} = E_{ii}\) est encore dans \(\mathcal{A}\). Comme \(\mathcal{A}\) contient toutes les matrices de la base canonique et que c’est un sous-espace vectoriel de \(\mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} })\), \(\mathcal{A} = \mathfrak{M}_{n}(\mathbb{\mathbb{K} })\).


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