I-Étude de deux ensembles de matrices

Soit \(\left(x,y\right)\) un élément quelconque de \(\mathbb{R}^2\). On note \(M_{x,y}\) la matrice \[\begin{pmatrix} x-y & y\\ 2 & x+y \end{pmatrix}\] Soit \(\Sigma\) le sous-ensemble de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\) tel que \(\Sigma=\left\{M_{x,y}~|~\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2\right\}\).

  1. Quelle relation doivent vérifier \(x\) et \(y\) pour que la matrice \(M_{x,y}\) ne soit pas inversible ? Calculer le produit \(M_{x,y}\times M_{-x,y}\). En déduire l’inverse de \(M_{x,y}\) lorsqu’il existe.

  2. \(\Sigma\) est-il un sous-espace vectoriel de \(\left(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right),+,.\right)\) ? On justifiera sa réponse.

    Soit \(A=\begin{pmatrix}0&0\\-2&0\end{pmatrix}\in\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\) et \(J=\left\{A+M_{x,y}~|~\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^2\right\}\).

  3. Montrer que \(J\) est un sous-espace vectoriel de \(\left(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right),+,.\right)\).

  4. Quelle est la dimension de \(J\) ? Déterminer une base de \(J\).

  5. Montrer que la loi \(\times\) est interne dans \(J\).

II - Étude d’une application de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\)

Soit \(B\) une matrice quelconque de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\). Soit \(\varphi_B\) l’application de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\) dans \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\) qui à la matrice \(X\) associe la matrice \(\varphi_B\left(X\right)=B\times X\).

  1. Montrer que \(\varphi_B\) est un endomorphisme de l’espace vectoriel \(\left(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right),+,.\right)\).

  2. On suppose dans cette question que \(B=M_{2,1}=\begin{pmatrix}1&1\\2&3\end{pmatrix}\).

    1. \(\varphi_B\) est elle surjective ? Bijective ?

    2. Déterminer la matrice de \(\varphi_B\) dans la base canonique de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\).
      On rappelle que la base canonique de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\) est constituée des matrices \(\left(E_{1,1},E_{1,2},E_{2,1},E_{2,2}\right)\) où \[E_{1,1}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} \quad E_{1,2}=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} \quad E_{2,1}=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} \quad \textrm{ et} \quad E_{2,2}=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\]

  3. On prend dans cette question \(B=M_{0,-2}=\begin{pmatrix}2&-2\\2&-2\end{pmatrix}\). \(\varphi_B\) est-elle surjective ? Bijective ?

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[ID: 1704] [Date de publication: 1 avril 2021 11:48] [Catégorie(s): Structure formée de matrices ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Extrait des petites Mines 2006
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 1 avril 2021 11:48

I.

  1. \(M_{x,y}\) n’est pas inversible lorsque \(x^2-y^2-2y = 0\). Dans les autres cas, \(M_{x,y}\) est inversible dans \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\), mais peut-être pas dans \(\Sigma\).
    \(M_{x,y}\times M_{-x,y} = (y^2-x^2+2y)I_2\). Donc, lorsque \(x^2-y^2-2y \neq 0\), \(M_{x,y}^{-1} = M\left( -{\scriptstyle x\over\scriptstyle y^2-x^2+2y}, {\scriptstyle y\over\scriptstyle y^2-x^2+2y}\right)\) qui appartient bien à \(\Sigma\).

  2. La matrice nulle n’appartient pas à \(\Sigma\). Donc \(\Sigma\) n’est pas un sous-espace vectoriel de \(\left(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right),+,.\right)\).

  3. L’application \(\varphi: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}^2 & \longrightarrow & E \\ (x,y) & \longmapsto & A+M_{x,y} \end{array} \right.\) est linéaire, clairement surjective. Son noyau est réduit au vecteur nul. \(\varphi\) est donc bijective.

  4. Une base de \(E\) est donc, par exemple, \((\varphi(1,0),\varphi(0,1))\). \(J\) est de dimension \(2\).

  5. \(\varphi(x,y).\varphi(x',y') = \left(\begin{array}{cc} x-y & y \\ 0 & x+y \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} x'-y' & y' \\ 0 & x'+y' \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} xx'-xy'-yx'+yy' & xy'+yx' \\ 0 & xx'+xy'+yx'+yy' \end{array}\right)\)
    \(\phantom{\varphi(x,y).\varphi(x',y')} = \varphi(xx'+yy',xy'+yx')\). C’est bien dire que la loi \(\times\) est interne dans \(J\).

II.

  1. On a \(B(\lambda X+\mu Y) = \lambda BX+\mu BY\). De plus \(BX\in \mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\). \(\varphi_B\) est donc un endomorphisme de \(\left(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right),+,.\right)\).

    1. On a \(B^{-1} = \begin{pmatrix}3&-1\\-2&1\end{pmatrix}\). On a \(\varphi_{B^{-1}}\left(\varphi_B\left(X\right)\right) = B^{-1}.\varphi_B\left(X\right) = B^{-1}BX = X\). On a donc \(\varphi_{B^{-1}} = \left( \varphi_B\right)^{-1}\).

    2. On a \(BE_{1,1}=\begin{pmatrix}1&1\\2&3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\2&0\end{pmatrix} = E_{1,1} + 2 E_{2,1}\). On obtient ainsi la première colonne de la matrice de \(\varphi_B\) dans la base canonique de \(\mathfrak{M}_{2}\left(\mathbb{R}\right)\) : \(\begin{pmatrix}1\\0\\2\\0\end{pmatrix}\). On trouve de la même façon les autres colonnes : \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\2 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 3 \end{pmatrix}\).

  3. Cette fois \(B\) n’est pas inversible. Puisqu’il n’est pas question d’obtenir une solution à \(\varphi_B\left(X\right) = I_2\), \(\varphi_B\) n’est pas surjective et donc pas bijective.

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